[BacaBetis]

Estimados amigos, me planteo este PVI \( x^3y’’+3x^2y’-\frac{4y}{x^3}=\frac{1}{x^3} \) con las condiciones iniciales \( y’(1)=y(1)=0 \) Parto de la solución particular de la EDO homogénea asociada \( e^{\frac{-1}{x^2}} \) He aplicado el método de la reducción de orden y he obtenido la solución general \( C_{1}e^{\frac{-1}{x^2}}-\frac{C_{2}}{4}e^{\frac{1}{x^2}} \) Y al buscar las constantes salen ambas cero. Me pueden ayudar? Gracias

[ani_pascual]

Hola:

Estimados amigos, me planteo este PVI \( x^3y’’+3x^2y’-\frac{4y}{x^3}=\frac{1}{x^3} \) con las condiciones iniciales \( y’(1)=y(1)=0 \) Parto de la solución particular de la EDO homogénea asociada \( e^{\frac{-1}{x^2}} \) He aplicado el método de la reducción de orden y he obtenido la solución general \( C_{1}e^{\frac{-1}{x^2}}-\frac{C_{2}}{4}e^{\frac{1}{x^2}} \) Y al buscar las constantes salen ambas cero. Me pueden ayudar? Gracias

Pues yo he llegado a \( y(x)=C_1e^{\frac{-1}{x^2}}-\dfrac{C_2}{4}e^{\frac{1}{x^2}}+\dfrac{1}{12}e^{\frac{-2}{x^2}} \)
No sé si habré errado en los cálculos. Ahora habría que aplicar las condiciones iniciales; llego a \( C_1=\dfrac{-1}{8e},\,\,\,\,C_2=\dfrac{-1}{6e^3} \). Pero es fácil cometer errores 
Saludos

[guilifog]

Ani_Pascual, me podrías decir si la ecuación diferencial a la que llegas al sustituir es \( x^6w'+(4x^3+3x^5)w=e^{\frac{1}{x^2}} \)? Gracias-

[ani_pascual]

Hola, guilifog:

Ani_Pascual, me podrías decir si la ecuación diferencial a la que llegas al sustituir es \( x^6w'+(4x^3+3x^5)w=e^{\frac{1}{x^2}} \)? Gracias-

Exacto, esa es la ecuación que resulta tras reducir el orden, aunque la he escrito en la forma \( w'+\left(\dfrac{4}{x^3}+\dfrac{3}{x}\right)w=\dfrac{e^{\frac{1}{x^2}}}{x^6} \) ; se trata de una EDO lineal completa. La solución general de la homogénea asociada es ...

Spoiler

\( w_h=C\dfrac{e^{\frac{2}{x^2}}}{x^3} \).  Con el método de variación de las constantes se halla \( C=\dfrac{e^{\frac{-3}{x^2}}}{6}+C_2 \) de donde la solución general de la completa es \( w=\dfrac{e^{\frac{-1}{x^2}}}{6x^3}+C_2\dfrac{e^{\frac{2}{x^2}}}{x^3} \).  Tras deshacer el cambio \( z'=w \), se obtiene \( z=-C_2\dfrac{e^{\frac{2}{x^2}}}{4}+\dfrac{e^{\frac{-1}{x^2}}}{12}+C_1 \) y finalmente \( y=e^{\frac{-1}{x^2}}z\Longleftrightarrow y=C_1e^{\frac{-1}{x^2}}-\dfrac{C_2}{4}e^{\frac{1}{x^2}}+\dfrac{1}{12}e^{\frac{-2}{x^2}} \)

[cerrar]

Saludos

[BacaBetis]

Bingo!!! Muchas gracias!!!