[Buscón]

Pero tu ahí, no se porqué, te acercas sólo por la derecha, cuando a la izquierda también hay puntos en el dominio de la función.

Gracias. Entiendo, (creo).

La función    \( f \)    no es derivable en    \( (0,2) \)    pero si lo es en    \( [1,2) \).    En    \( [1,2] \)    NO es derivable por que no existe    \( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(2+h)-f(2)}{h}} \).    Lo que suceda para    \( h>0 \)    es irrelevante suponiendo la función definida como    \( f:[1,2]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    dada por    \( f(x)=\lfloor x\rfloor \).

¿Correcto?

[Luis Fuentes]

Hola

Pero tu ahí, no se porqué, te acercas sólo por la derecha, cuando a la izquierda también hay puntos en el dominio de la función.

Gracias. Entiendo, (creo).

La función    \( f \)    no es derivable en    \( (0,2) \)    pero si lo es en    \( [1,2) \).    En    \( [1,2] \)    NO es derivable por que no existe    \( \displaystyle\lim_{h \to{0}\\h<0}{\displaystyle\frac{f(2+h)-f(2)}{h}} \).    Lo que suceda para    \( h>0 \)    es irrelevante por que ahí la función no está definida.

¿Correcto?

Es correcto. Y fíjate que todas esas disquisiciones o variaciones en la diferenciabilidad son las mismas que ocurren con la continuidad; es decir no es una problemática exclusiva de la diferenciabilidad de una función pase a ser derivable o no dependidendo de si se restringe el dominio.

Saludos.

[Buscón]

Por calentar otro poco el tema.

Con esta

6.1 Definición.
Se dice que una función    \( f:I\rightarrow{R} \)    es derivable en un punto    \( a\in{I} \),    si existe el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} \).

Explícitamente,    \( f \)    es derivable en    \( a \)    si hay un número    \( L\in{\mathbb{R}} \)    verificando que para cada número    \( \epsilon>0 \)    existe algún número    \( \delta>0 \)    tal que para todo    \( x\in{I} \)    con    \( x\neq a \)    y    \( |x-a|<\delta \)    se tiene que:

\( \displaystyle\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L\right|\leq{}\epsilon \)

Dicho número    \( L \)    se llama derivada de    \( f \)    en    \( a \)    y lo representamos por    \( f'(a) \)    (notación debida a Lagrange).

y esta función,

Sea    \( f \)    la función dada por:

\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2-x,&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\2+x,&\textrm{ si }x>1.\end{cases} \)

Estudia la derivabilidad de    \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \).


¿Es derivable la función    \( F \)    en    \( x=1 \)?  Aplicado al hilo: ¿Es derivable en    \( [0,1] \)?

Saludos.

[delmar]

Hola

Te ayudo con la primera interrogante.

\( F:R\rightarrow{R} \)

F es una función definida en todo R, en este caso 1 es un punto interior del dominio de F, entonces es aplicable la definición puesta.

Para saber si es derivable aplicar la definición de derivada, por intuición hay que analizar directamente los límites laterales y estos han de ser iguales.

Lateral por la derecha:

\( \lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1)+\int_{1}^{1+h}(2+t) \ dt-F(1)}{h}} \)

Lateral por la izquierda :

\( \lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1)-\int_{1+h}^{1}(2-t) \ dt-F(1)}{h}} \)

Es cuestión de hallar los límites y compararlos.


Saludos

[Buscón]

Hola

Te ayudo con la primera interrogante.

\( F:R\rightarrow{R} \)

F es una función definida en todo R, en este caso 1 es un punto interior del dominio de F, entonces es aplicable la definición puesta.

Para saber si es derivable aplicar la definición de derivada, por intuición hay que analizar directamente los límites laterales y estos han de ser iguales.

Lateral por la derecha:

\( \lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0+}{\frac{F(1)+\int_{1}^{1+h}(2+t) \ dt-F(1)}{h}} \)

Lateral por la izquierda :

\( \lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1+h)-F(1)}{h}}=\lim_{h \to{}0-}{\frac{F(1)-\int_{1+h}^{1}(2-t) \ dt-F(1)}{h}} \)

Es cuestión de hallar los límites y compararlos.


Saludos

Gracias

\( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{2x-\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}}{x-1}}\neq\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{2x+\frac{x^2}{2}-1}{x-1}} \)

No coinciden. Así que según la definición dada la función     \( F \)   no es derivable en    \( x=1 \)    a pesar de que es posible calcular    \( F'(1)=2-x=2-1=1 \).   

¿Que sería lo correcto?

   i)   La función    \( F \)    es derivable en    \( (0,1)\cup{(1,+\infty)} \)

   ii)  La función    \( F \)    es derivable en    \( [0,1]\cup{(1,+\infty)} \)

   iii) La función     \( F \)    es derivable en    \( [0,1)\cup{(1,+\infty)} \)

   iv) La función     \( F \)    es derivable en    \( (0,1)\cup{(1,+\infty)} \),    y además es derivable por la izquierda en    \( x=0 \)    y    \( x=1 \)

Saludos.

[delmar]

Observo algunos errores en los numeradores de las expresiones para hallar los límites por la izquierda y derecha. Los doy a notar.

Por la izquierda :

\( F(x)-F(1)=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2} \)

Por la derecha :

\( F(x)-F(1)=(\int_{0}^{1}(2-t) \ dt+\int_{1}^{x}(2+t) \ dt)-F(1)=(F(1)+2(x-1)+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2})-F(1)=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)

Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.

Spoiler

\( 1\neq 3 \)

[cerrar]

En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.

a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es. Disculpad leyendo bien es cierto

Buscón esperamos tus ideas.


Saludos

[Buscón]

Observo algunos errores en los numeradores de las expresiones para hallar los límites por la izquierda y derecha. Los doy a notar.

Por la izquierda :

\( F(x)-F(1)=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2} \)

Por la derecha :

\( F(x)-F(1)=(\int_{0}^{1}(2-t) \ dt+\int_{1}^{x}(2+t) \ dt)-F(1)=(F(1)+2(x-1)+\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2})-F(1)=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)

\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2-x,&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\2+x,&\textrm{ si }x>1.\end{cases}\Rightarrow{F(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\int_{0}^{x}2-t\cdot{dt}=2t\bigg|_0^x-\frac{t^2}{2}\bigg|_0^x=2x-\frac{x^2}{2},&\textrm{ si }x\leq{1}\\\\\\\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\int_{1}^{x}2+t\cdot{dt}=2t\bigg|_1^x+\frac{t^2}{2}\bigg|_1^x=2x+\frac{x^2}{2},&\textrm{ si }x>1\end{cases}} \)

de donde

\( \displaystyle F(x)-F(1)=2x-\frac{x^2}{2}-\left(2\cdot{(1)}-\frac{1^2}{2}\right)=2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2} \)    por la izquierda, y

\( \displaystyle F(x)-F(1)=2x+\frac{x^2}{2}-\left(2\cdot{(1)}+\frac{1^2}{2}\right)=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)   por la derecha

Efectivamente llevas razón.

Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.

Spoiler

\( 1\neq 3 \)

[cerrar]

En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.

a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es.

Buscón esperamos tus ideas.


Saludos

Para verificar que son distintos. La ecuación    \( \displaystyle 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)    tiene por soluciones     \( x=\pm{1} \)    y     \( -1\not\in{[0,+\infty)} \).

El dominio de    \( F \)    no es todo    \( \mathbb{R} \)    el dominio de    \( F \)    está implícito en su definición    \( \displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \),   sería    \( [0,+\infty) \)

¿Es    \( F \)    derivable en    \( x=0 \)?

Saludos.

[Buscón]

a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es. Disculpad leyendo bien es cierto

Creo que no lo es. Estaba mejor antes. El teorema fundamental del cálculo,

Spoiler

8.16 Teorema (Teorema fundamental del Cálculo). Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función integrable y definamos    \( F:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    por:

\( F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt\tag{8.6} \)

para todo    \( x\in{[a,b]} \).    Entonces:

   i)  \( F \)    es continua en    \( [a,b] \).

   ii) En todo punto    \( c \)    de     \( [a,b] \)    en el que    \( f \)    sea continua se verifica que    \( F \)    es derivable en dicho
       punto siendo    \( F'(c)=f(c) \).   En particular, si    \( f \)    es continua en    \( [a,b] \),    entonces    \( F \)   es derivable
       en    \( [a,b] \)    y    \( F'(x)=f(x) \)    para todo    \( x\in{[a,b]} \).

[cerrar]

aplicado al caso viene a decir "en el punto    \( 1\in{}[0,+\infty) \)    donde    \( f \)    es continua se verifica que    \( F \)    es derivable." Pero    \( f \)    no es continua en    \( x=1 \),    entonces se supone, aunque el teorema no diga nada al respecto, que    \( F \)    no es derivable en dicho punto.   

En el punto    \( x=0 \)    la función es considerada continua por el punto i) del teorema, luego debería ser derivable en él.

El punto i) del teorema afirma que la función integral es continua, no que lo sea la función integrando. 

Aplicando la definición tampoco es derivable por que no existe el límite requerido. El límite debe ser único y está probado que el de la izquierda no coincide con el de la derecha.

La función    \( F_{\big|[0,1]} \),   la función    \( F \)    restringida al intervalo    \( [0,1] \)    si es derivable en    \( [0,1] \).

Creo que me estoy aclarando un poco. Ya dirán ustedes. Saludos y gracias.

CORREGIDO.

[delmar]

Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.

Spoiler

\( 1\neq 3 \)

[cerrar]

En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.

a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es.

Buscón esperamos tus ideas.


Saludos

Para verificar que son distintos. La ecuación    \( \displaystyle 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)    tiene por soluciones     \( x=\pm{1} \)    y     \( -1\not\in{[0,+\infty)} \).

El dominio de    \( F \)    no es todo    \( \mathbb{R} \)    el dominio de    \( F \)    está implícito en su definición    \( \displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \),   sería    \( [0,+\infty) \)

¿Es    \( F \)    derivable en    \( x=0 \)?

Saludos.

Claro el dominio de F esta implícito en su definición, es decir en \( F(x)=\int_{0}^{x}f(t) \ dt \) esto implica que por ejemplo \( -1\in{D(F)} \) la razón es que \( \exists{F(-1)}=\int_{0}^{-1}f(t) \ dt=-\int_{-1}^{0}(2-t) \ dt=-(2(1)-(-\frac{1}{2}))=- \ (\frac{5}{2}) \) es decir el dominio de F es R incluye a los negativos. Otra cosa diferente es que directamente se diga en el enunciado que el dominio de F es por ejemplo \( [a,b] \) o algo  por el estilo; pero por no estar en el enunciado esta aseveración se ha de considerar lo que implica su definición.

Saludos

Nota : Respecto a la diferencia de los límites laterales, lo mejor es hallarlos y se ve la diferencia.

[Buscón]

Al obtener los límites se ve que son diferentes, es conveniente verificar.

Spoiler

\( 1\neq 3 \)

[cerrar]

En este caso, considerando que el dominio de F es todo R, todos los puntos de su dominio incluyendo a los que pertenecen a \( [0,1] \) son puntos interiores al dominio, en consecuencia la definición puesta es aplicable.

a)Falso, no es derivable en 1, en los demás puntos de \( (0,+\infty) \) lo es.

Buscón esperamos tus ideas.


Saludos

Para verificar que son distintos. La ecuación    \( \displaystyle 2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2} \)    tiene por soluciones     \( x=\pm{1} \)    y     \( -1\not\in{[0,+\infty)} \).

El dominio de    \( F \)    no es todo    \( \mathbb{R} \)    el dominio de    \( F \)    está implícito en su definición    \( \displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \),   sería    \( [0,+\infty) \)

¿Es    \( F \)    derivable en    \( x=0 \)?

Saludos.

Claro el dominio de F esta implícito en su definición, es decir en \( F(x)=\int_{0}^{x}f(t) \ dt \) esto implica que por ejemplo \( -1\in{D(F)} \) la razón es que \( \exists{F(-1)}=\int_{0}^{-1}f(t) \ dt=-\int_{-1}^{0}(2-t) \ dt=-(2(1)-(-\frac{1}{2}))=- \ (\frac{5}{2}) \) es decir el dominio de F es R incluye a los negativos. Otra cosa diferente es que directamente se diga en el enunciado que el dominio de F es por ejemplo \( [a,b] \) o algo  por el estilo; pero por no estar en el enunciado esta aseveración se ha de considerar lo que implica su definición.

Ahi va! Pues también llevas razón. Gracias. Suerte que para el caso que nos ocupa no cambia básicamente nada. La    \( \displaystyle\int_{-\infty0}^{1}f(t)\cdot{dt} \)    se puede tomar como     \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(t)\cdot{dt} \)    sin que influya en los conceptos que se están debatiendo. Pero que conste que llevas razón.

Lo que si que tendré que corregir es el hilo correspondiente. 

Nota : Respecto a la diferencia de los límites laterales, lo mejor es hallarlos y se ve la diferencia.

Por la izquierda    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{2x-\frac{x^2}{2}-\frac{3}{2}}=2-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}=0 \),

por la derecha    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x>1}{2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2}}=2+\frac{1}{2}-\frac{5}{2}=0 \).

Al cambiar los intervalos de integración cambia el valor de las integrales.

\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2-x,&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\2+x,&\textrm{ si }x>1.\end{cases}\Rightarrow{F(x)=\begin{cases}\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{}\int_{1}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{} -\int_{x}^{1}2-t\cdot{dt}=\lim_{x \to{-}\infty}{}-2t\bigg|_x^1+\frac{t^2}{2}\bigg|_x^1=\lim_{x \to{-}\infty}{}\frac{-x^2-1}{2},&\textrm{ si }x\leq{1}\\\\\\\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\int_{1}^{x}2+t\cdot{dt}=\lim_{x \to{+}\infty}{}2t\bigg|_1^x+\frac{t^2}{2}\bigg|_1^x=\lim_{x \to{+}\infty}{}\frac{4x-x^2-3}{2},&\textrm{ si }x>1\end{cases}} \)

Ahora para la derivada, los límites laterales son

Por la izquierda    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{\frac{-x^2-1}{2}-\frac{-1-1}{2}}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{1-x^2}{2x-2}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{-2x}{2}}=-1 \),     y

por la derecha    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{\frac{4x-x^2-3}{2}-\frac{-1-1}{2}}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{4x-x^2-1}{2x-2}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{-2x+4}{2}}=1 \),

que es obvio que no coinciden.