Hola.
Sea \( X \) un espacio topológico conexo y \( f:X\longrightarrow{Y} \) una función continua. Entonces, \( f(X) \) es conexo.
Por reducción al absurdo, si \( f(X) \) no fuera conexo, existirían \( U \) y \( V \) abiertos disjuntos, tales que \( f(X)=U\cup{V} \).
Obviamente, claramente, \( f^{-1}(U)\cup{f^{-1}(V)} \) sería una desconexión de \( X \), contradicción.
Perdonad mi torpeza, pero me encuentro esta demostración por doquier, y para mi ni es claro ni obvio la desconexión de \( X \).
Soy capaz de demostrarlo usando la equivalencia de que si un espacio es conexo, no existe una función sobreyectiva del espacio en \( \left\{{0,1}\right\} \). Compongo funciones y luego a la misma contradicción.
Pero, directamente aplicar la inversa y llegar a la contradicción, como es?.
Besos.