Rincón Matemático
Matemática => Teoría de números => Mensaje iniciado por: Champion9999 en 23 Septiembre, 2005, 04:08 pm
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Recordemos los números de Fibonacci:
F0=1, F1=1, F2=2, F3=3, F4=5, F5=8, F6=13, F7=21, F8=34,......., Fn=Fn-1+Fn-2,...
Demostrar que: Fn-1 divide a Fkn-1para todo n,k\( \geq{1}. \)
(Por ejemplo, para n=3, se debe probar que F3k-1 es par para todo k)
Saludos
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Algo más: probar que
Fn-1 es coprimo con Fn
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Creo que se me ha ocurrido una solución a uno de los problemas.
Lo de que son primos entre sí f(n) y f(n+1) creo que se podría demostrar por inducción.
Adjunto un archivo con una solución por inducción.
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Algo mas:
Probar que Fn+m=FnFm+Fn-1Fm-1
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Para este último: fijar n y razonar por inducción sobre m.
Saludos
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Creo que lo tengo.
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Hola.
Mirando este problema creo que podemos hacer
\( F_k=\frac{\alpha^{k+1}-\beta^{k+1}}{\alpha-\beta} \)
donde \( \alpha^2=\alpha+1; \beta^2=\beta+1 \)Basta sustituir y hacer algunas cuentas.
No es un procedimiento muy elegante pero...
A propósito, quizás publique un problema que aplica esta Fórmula de Binet.
Me gustaría saber si la fórmula no se deduce mediante algún argumento combinatorio.
SebasUy
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A cual de las formulas te refieres?
Saludos
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Hola Campion9999
Me refería a la fórmula
\( F_{m+n}=F_m\cdot F_n+F_{m-1}\cdot F_{n-1} \)
Los argumentos por inducción demuestran pero no muestran y prefieron usar la inducción cuando no me queda más remedio.
A veces, más que interesarme la demostración de un resultado, me interesa más cómo llegar a él, aunque sea heurísticamente.
Me preguntaba si no hay algún argumento que permita deducir esa fórmula. No sé si estoy confundido, pero creo haber visto alguna vez un argumento combinatorio que probaba esa fórmula.
Con respecto a que dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci son coprimos, de hecho, se puede probar que
\( D(F_m,F_n)=F_{D(m,n)} \)
donde \( D \) significa máximo común divisor (la notación \( (a,b) \) me parece un abuso porque se confunde con par ordenado y con intervalo abierto, así que me niego a usarla).
Una observación interesante es la siguiente: aplicando el Algoritmo de Euclides se puede probar \( D(F_m,F_{m+1})=1 \) (como ya han indicado) pero, de paso cañazo, si no aplicamos inducción, se obtiene la Fórmula de Cassini
\( F_{n+1}\cdot F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n \)
Para los que les interese Álgebra Lineal, se podría publicar en el foro correspondiente un "problema guiado" que permite hallar la Fórmula de Binet, la Fórmula de Cassini, la
\( F_{m+n}=F_m\cdot F_n+F_{m-1}\cdot F_{n-1} \), entre otras.
Gracias,
SebasUy
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Quiciera indicar que si el objetivo principal de una sucesión es converger hacia un número (el de oro) entonces existen infinitas sucesiones de Fibonaci
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Se me ocurre que 1; 4; 5; 9;.....al dividir un término por el siguiente concurre a 0,61..(el número de oro) es decir sería otra sucesión de Fibonacci no muy conocida.Existen infinitas.Habría que encontrarle propiedades.
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El otro día exponía cómo se pueden dar visiones distintas en la solución de un problema,ejmplificaba con la prueba que existen infinitos primos dadas por Euclides(esa demostración me fascina) y la dada por Euler,mucho más difícil.Parece que unos de los Bernuilli (algunos se lo adjudican a otro)dió una fórmula binómica para obtener los términos de las sucesión de Fibonacci.En realidad nadie haría uso de ésta fórmula para obtener los términos pues requiere operaciones más complicadas,pero es interesante ver cómo se conjugan los hechos para obener lo mismo.