[Bhullcre]

Buen día

 Sea f una función de dos variables con derivadas parciales continuas. Consideremos los puntos A =(1,3), B=(3,3), C=(1,7) y D=(4,7). Supongamos que la derivada direccional de f en A en la dirección del vector \( \overrightarrow{AB} \) es igual a 5 y la derivada direccional de f en A en dirección del vector \( \overrightarrow{AC} \) es igual a 20. Encuentre la derivada direccional de f en A en la dirección del vector  \( \overrightarrow{AD} \).

Lo que he planteado con respecto a este problema es lo siguiente:

Tengo los tres vectores  \( \overrightarrow{AB} \) ,  \( \overrightarrow{AC} \) ,  \( \overrightarrow{AD} \) , restando el componente inicial a su respectivo componente final del vector encuentro

 \( \overrightarrow{AB} \) =(2,0) ;  \( \overrightarrow{AC} \) =(0,4) ;
 \( \overrightarrow{AD} \)=(3,4)

Ahora, como mencionan que las derivadas direccionales son continuas pienso en usar la formula de derivada direccional:
Duf= \( \nabla \) f(a,b) * \( \widehat{u} \)

Luego, pensé en hallar los vectores unitarios de \( \overrightarrow{AB} \) y  \( \overrightarrow{AC} \) , obteniendo respectivamente (1,0) y (0,1)
Así, pensé en plantear un sistema de ecuaciones según la formula, ya sabiendo que la derivada direccional de los vectores  \( \overrightarrow{AB} \) y  \( \overrightarrow{AC} \) dan como resultado 5 y 20 respectivamente, quedando de la siguiente forma:

\( \nabla \) fx*1 + \( \nabla \) fy*0=5
\( \nabla \) fx*0 + \( \nabla \) fy*1=20

Pero no es posible usar eliminación para resolverlo, por lo que asumo que he cometido algún error o me he planteado mal el problema. Pensé en usar la formula general de derivadas direccionales, pero no se me ocurre como. Agradecería que me colaboren para la solución de este problema.

Muchas gracias.

[delmar]

Hola

Has llegado bastante bien hasta esta fórmula :

\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(a,b)\cdot{\vec{u}} \) donde \( Df_\vec{u} \) es la derivada de f respecto al vector \( \vec{u} \) obviamente (a,b)=(1,3)

Aplicando para \( \vec{u}=(2,0) \)

\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(1,3)\cdot{(2,0)}=(Df_x,Df_y)\cdot{(2,0)}=5\Rightarrow{2Df_x=5} \)

Aplicando para \( \vec{u}=(0,4) \)

\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(1,3)\cdot{(0,4)}=(Df_x,Df_y)\cdot{(0,4)}=20\Rightarrow{4Df_y=20} \)

Despejas las derivadas parciales que constituyen el gradiente y son \( Df_x=5/2, \ \ Df_y=5 \)

Con el gradiente puedes hallar sencillamente la derivada direccional respecto a \( \vec{AD} \)


\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(a,b)\cdot{\vec{u}} \) con \( \vec{u}=(3,4) \)

Saludos

En la derivada direccional se considera el vector tal como esta, sin normalizarlo

[Bhullcre]

Hola

Has llegado bastante bien hasta esta fórmula :

\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(a,b)\cdot{\vec{u}} \) donde \( Df_\vec{u} \) es la derivada de f respecto al vector \( \vec{u} \) obviamente (a,b)=(1,3)

Aplicando para \( \vec{u}=(2,0) \)

\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(1,3)\cdot{(2,0)}=(Df_x,Df_y)\cdot{(2,0)}=5\Rightarrow{2Df_x=5} \)

Aplicando para \( \vec{u}=(0,4) \)

\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(1,3)\cdot{(0,4)}=(Df_x,Df_y)\cdot{(0,4)}=20\Rightarrow{4Df_y=20} \)

Despejas las derivadas parciales que constituyen el gradiente y son \( Df_x=5/2, \ \ Df_y=5 \)

Con el gradiente puedes hallar sencillamente la derivada direccional respecto a \( \vec{AD} \)


\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(a,b)\cdot{\vec{u}} \) con \( \vec{u}=(3,4) \)

Saludos

En la derivada direccional se considera el vector tal como esta, sin normalizarlo

Muchas gracias, Delmar

He entendido a la perfección, resulta que se resuelve de una forma tan sencilla y lo pase por alto. Nuevamente te agradezco y que tengas un excelente día.

Por cierto, tengo entendido que para resolver y hallar la derivada direccional se trabaja con el vector normalizado.

[delmar]

Hola

Has llegado bastante bien hasta esta fórmula :

\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(a,b)\cdot{\vec{u}} \) donde \( Df_\vec{u} \) es la derivada de f respecto al vector \( \vec{u} \) obviamente (a,b)=(1,3)

Aplicando para \( \vec{u}=(2,0) \)

\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(1,3)\cdot{(2,0)}=(Df_x,Df_y)\cdot{(2,0)}=5\Rightarrow{2Df_x=5} \)

Aplicando para \( \vec{u}=(0,4) \)

\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(1,3)\cdot{(0,4)}=(Df_x,Df_y)\cdot{(0,4)}=20\Rightarrow{4Df_y=20} \)

Despejas las derivadas parciales que constituyen el gradiente y son \( Df_x=5/2, \ \ Df_y=5 \)

Con el gradiente puedes hallar sencillamente la derivada direccional respecto a \( \vec{AD} \)


\( Df_{\vec{u}}=\nabla f(a,b)\cdot{\vec{u}} \) con \( \vec{u}=(3,4) \)

Saludos

En la derivada direccional se considera el vector tal como esta, sin normalizarlo

Muchas gracias, Delmar

He entendido a la perfección, resulta que se resuelve de una forma tan sencilla y lo pase por alto. Nuevamente te agradezco y que tengas un excelente día.

Por cierto, tengo entendido que para resolver y hallar la derivada direccional se trabaja con el vector normalizado.

Eso de normalizar es un punto de vista, en el campo de la física e ingeniería no es aconsejable, pero bueno depende de la materia y como lo considera el profesor

Saludos