Hola!
Estoy haciendo unos ejercicios y al ver las soluciones me surgieron dudas; el ejercicio es el siguiente:
En este ejercicio trabajaremos con el tipo de similaridad \( <2;2;0> \) y un alfabeto con simbolo de predicado \( P \) y simbolo de funcion \( f \).
Se consideran las siguientes sentencias: \( \alpha_1 = (\forall{x})P(x,x) \), \( \alpha_2 = (\forall{x})(\forall{y})(P(x,y)\rightarrow{}P(y,x)\rightarrow{x=y}) \), \( \beta_1 = (\forall{x})(f(x,x)=x) \) , \( \beta_2 = (\forall{x})(\forall{y})(f(x,y)=f(y,x)) \) y \( \gamma = (\forall{x})(\forall{y})(P(x,y)\leftrightarrow{f(x,y)=x}) \)
En cierta parte del ejercicio me piden probar que \( \beta_1 , \beta_2, \gamma \models \alpha_1 \). Yo, aplicando Completitud y correctitud, demostré que \( \beta_1 , \beta_2, \gamma \vdash \alpha_1 \), pero en las soluciones utilizan el teorema 2.4.5 (adjunto notas), pero antes dicen que \( \beta_1 , \gamma \models \alpha_1 \Rightarrow{} \beta_1 , \beta_2, \gamma \models \alpha_1 \) y no entiendo porque se puede excluir \( \beta_2 \)
En otra parte del ejercicio me preguntan si \( \left\{{\beta_1,\beta_2,\gamma,\neg \alpha_2}\right\} \) tiene o no tiene modelo. La respuesta es que no tiene modelo, y yo lo que intente demostrar es que dicho conjunto deriva \( \bot \), el problema es que no sé si esta bien dicho razonamiento (y tampoco estoy pudiendo hacer la derivacion
).
Agradezco cualquier ayuda que me puedan brindar
Spoiler
Estos son los apuntes de donde estoy estudiando
