[SandyFresh]

Hola a todos. Quisiera saber si este ejercicio está bien  desarrollado e igualmente conocer como lo puedo comprobar en Geogebra si es posible. Agradezco su ayuda de antemano.

Calcular el volumen del sólido que se genera al girar la región plana \( y=x^2 \)  y  \( y=\sqrt[ ]{8x} \) alrededor del eje \( Y \). Representar en Geogebra las regiones a rotar y anexar el sólido resultante.

Lo primero que realizamos es hallar los límites de integración igualando las funciones  que tenemos teniendo   en cuenta  que

\( f(x)=\sqrt[ ]{8x}\\

g(x)=x^2 \)

Entonces

\( \sqrt[ ]{8x}=x^2 \)
\( 8x=x^4 \)
\( x^4-8x=0 \)
\( x(x^3-8)=0 \)
\( x=0\qquad         x^3-8=0 \)
\( x=0 \qquad        x^3=8=x=2 \)

Ahora  usamos nuestra  fórmula:

\( V= \pi \displaystyle\int_a^bR(y)^2 dy \)

Reemplazamos:

\( V= \pi \displaystyle\int_0^2(x^2)^2-(\sqrt[ ]{8x})^2 dy \)

Simplificamos ahora:

\(  \displaystyle\int_0^2x^4-8x dy \)

Ahora trabajamos en base a la regla de la suma con cada una de las integrales

\(  \displaystyle\int_0^2x^4 dy- \displaystyle\int_0^2 8x dy \)

Ahora  teniendo   esto  evaluamos y  simplificamos

\( =[x^{4+1}/(4+1)] =[x^5/5]  \)

Evaluamos ahora con los límites

\( [x^5/5]=[0^5/5]=0\\
[x^5/5]=[2^5/5]=32/5 \)

\( 32/5 \)

Sacamos la constante

\( =8[x^{1+1}/(1+1)] =8[x^2/2]  \)

Evaluamos ahora con los límites

\( [x^2/2]=[0^2/2]=0\\
[x^2/2]=[2^2/2]=2 \)

Multiplicamos

\( 8\cdot 2=16 \)

Operamos

\( 32/5-16=-48/5 \)

Operamos  con π obteniendo nuestro resultado final

\( -48\pi/5 \)
Mensaje corregido desde la administración.

[Fernando Revilla]

Ahora  usamos nuestra  formula \( V= π ∫_a^bR(y)^2 dy \)

Sería entonces: \( V=\pi \displaystyle\int_{0}^{4}\left(\sqrt{y}-\displaystyle\frac{y^2}{8}\right)^2dy=\ldots=\displaystyle\frac{72\pi}{35}. \)

[SandyFresh]

Gracias  por tu ayuda! Podrías guiarme por favor como debo graficarlo en Geogebra

[Fernando Revilla]

Gracias  por tu ayuda! Podrías guiarme por favor como debo graficarlo en Geogebra

No manejo Geogebra, pero seguro que algún usuario te ayudará.

[Luis Fuentes]

Hola

 Las curvas las puedes representar directamente.
 
 La región que encierran simplemente escribiendo en la línea de comandos: x^2<y<sqrt(8x)

 En general para representar la superficie que genera una curva \( x=f(y) \) al girar alrededor del eje \( OY \) con \( a\leq y\leq b \) usa la parametrización:

Superficie(f(s)cos(t),f(s)sin(t),s,t,0,2*Pi,s,a,b)


Saludos.