[AleBD]

Hola, se me ha presentado este ejemplo resuelto pero hay pasos que no consigo entender. ¿Alquien sabría resolver mis dudas?

EJEMPLO:
Para cada \( n \in \mathbb{N} \) sea \( m_n \) el mayor número natural cuyo cuadrado es menor o igual que \( 2^{2n+1} \).

\( m_n^2 \le 2^{2n+1} \)

Entonces, \( (m_n+1)^2 > 2^{2n+1} \)

Ahora, para cada \( n \in \mathbb{N} \), definamos: \( a_n=\frac{m_n}{2^n} \). 1) ¿Por qué definimos \( a_n \) así?
Entonces

\( a^2_n= \frac{m^2_n}{2^{2n}} \le \frac{2^{2n+1}}{2^{2n}} = 2 \)

y

\( (a_n+ \frac{1}{2^n})^2 = \frac{(m_n+1)^2}{2^{2n}} > \frac{2^{2n+1}}{2^{2n}} = 2 \)

Por tanto, \( (a_n+ \frac{1}{2^n})^2 >2 \ge a^2_n \) para todo \( n \).

Como \( m_n^2 \le 2^{2n+1} \), tenemos que \( (2m_n)^2 \le 2^{2(n+1)+1} \). Como \( m_{n+1} \) es por definición el mayor número natural cuyo cuadrado es menor o igual que \( 2^{2(n+1)+1} \), tenemos que \( m_{n+1} \le 2^{2(n+1)+1} \).

Así pues, se tiene que \( 2m_n \le m_{n+1} \). 2) ¿Cómo deducimos del párrafo anterior que \( 2m_n \le m_{n+1} \)?  

Por tanto, \( a_n \le a_{n+1} \) para todo \( n \), luego \( a_n \le a_m \) para \( m \ge n \).

A partir de aquí queda un largo trozo del ejemplo del cual no entiendo nada porque se basa en mis dudas que aprecen en rojo...

Gracias

[Juan Pablo Sancho]

Bienvenida al foro AleBd


Intentan crear una sucesión de racionales que converja a \(  \sqrt{2}  \).

Como:

\(  m_n^2 \leq 2^{2n+1}  \) tenemos que \(  \dfrac{m_n^2}{2^{2n}} \leq 2  \) quedando \(  a_n^2 = \dfrac{m_n^2}{2^{2n}} \leq 2 = (\sqrt{2})^2  \)

Entonces si definimos \(  a_n  \) de esa forma tenemos una sucesión tal que todos sus términos son menores que \(  \sqrt{2}  \)


Para el siguiente punto:

\(  m_n^2 \leq 2^{2n+1}  \) multiplico por \(  4  \) y queda  \(  4 \cdot m_n^2 = (2 \dcot m_n)^2 \leq 4 \cdot 2^{2n+1} = 2^{2 \cdot (n+1) + 1}  \)

Tenemos por un lado \(  (2 \dcot m_n)^2 \leq  2^{2 \cdot (n+1) + 1}  \)

Por definición de \(  m_{n+1}  \) es el número natural más grande verificando \(  m_{n+1}^2 \leq 2^{2(\cdot n+1)+1}  \).

Si \(  (2 \dcot m_n)^2 > m_{n+1}^2  \) y en consecuencia \(  2 \dcot m_n > m_{n+1}  \)  entonces \(  m_{n+1}^2  \) no es el numero más grande verificando:

\(  m_{n+1}^2 \leq 2^{2(\cdot n+1)+1}  \)

[AleBD]

Muchas gracias por contestar. Me has resuelto todas las dudas de esta parte. Sin embargo, al continuar con el ejemplo he encontrado más dudas. ¿Te importaría volver a ayudarme por favor?

Siguiendo donde lo dejé en el primer mensaje:
Para todo par de números naturales \( m \) y \( n \) se verifica que:

\( a^2_m \le 2 < (a_n + \frac{1}{2^n})^2 \)

Como \( (a_n) \) es una sucesión de números racionales positivos,

\( a_m < (a_n + \frac{1}{2^n}) \)

Luego, para \( m \ge n \), se tiene que \( a_n \le a_m < (a_n + \frac{1}{2^n}) \).
Si tomamos \( p \ge n \) y \( q \ge n \) será:

\( a_n \le a_p < (a_n + \frac{1}{2^n}) \)

\( a_n \le a_q < (a_n + \frac{1}{2^n}) \)

A partir de lo anterior, en el ejemplo pone que se deduce que \( |a_p-a_q|< \frac{1}{2^n} \).  Lo he intentado de diferentes maneras, pero no llego a esto...

Y, como para cada \( \epsilon > 0 \) de \( \mathbb{Q} \) existe un número natural \( n \) tal que \( \frac{1}{2^n}< \epsilon \), se obtiene

\( |a_p - a_q | < \epsilon  \)

para \( p \ge n \) y \( q \ge n \), luego \( (a_n) \) es una sucesión de Cauchy en \( \mathbb{Q} \).  ¿Por qué ponemos que  \( \frac{1}{2^n}< \epsilon \) ?

[Juan Pablo Sancho]

Tienes:

\( \displaystyle a_n \leq a_p < (a_n+\dfrac{1}{2^n})  \)

\( \displaystyle a_n \leq a_q < (a_n+\dfrac{1}{2^n})  \)

Tienes que \(  (a_n+\dfrac{1}{2^n}) - a_n = \dfrac{1}{2^n}  \) pero \(  a_p,a_q \in [a_n,a_n+\dfrac{1}{2^n}]  \)

La distancia entre dos puntos dentro del intervalo seguro será menor o igual que la distancia total del intervalo.

Entonces la diferencia en módulo de \(  |a_p - a_q|  \) tiene que ser menor que \(  (a_n+\dfrac{1}{2^n}) - a_n  \)


Como Dado \(  \epsilon > 0  \) puedo encontrar \(  n \in \mathbb{N}  \)  tal que \(  \dfrac{1}{2^n} < \epsilon  \) lo que te dice es que si : \(  p,q  \) son más grandes que \(  n  \) entonces:

\( |a_p-a_q| < \epsilon  \) entonces es una sucesión de Cauchy.

[AleBD]

me has resuleto todas mis dudas de nuevo. Muchas gracias

La última duda:

Para ver que \( (a_n) \) no es convergente en \( \mathbb{Q} \), utiliza que

\( \lim{(a_n+\frac{1}{2^n})^2}=a^2 \)

Si \( \lim{a_n^2}=a^2 \) y \( (a_n+\frac{1}{2^n})^2>a_n^2 \), ¿cómo pueden ser los límites iguales?

[Luis Fuentes]

Hola

Para ver que \( (a_n) \) no es convergente en \( \mathbb{Q} \), utiliza que

\( \lim{(a_n+\frac{1}{2^n})^2}=a^2 \)

Si \( \lim{a_n^2}=a^2 \) y \( (a_n+\frac{1}{2^n})^2>a_n^2 \), ¿cómo pueden ser los límites iguales?

La sucesión \( \{b_n\} \) con \( b_n=\dfrac{1}{n} \) cumple que \( b_n>0 \) para todo \( n \) y sin embargo \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{}b_n=0 \).

Por tanto no hay nada extraño en lo que aputas.

Si lo quieres pensar intuitivamente, es cierto que \( (a_n+\frac{1}{2^n})^2>a_n^2 \), pero observa que \( \dfrac{1}{2^n} \) es cada vez más próximo a cero a medida que aumenta \( n \), y por tanto \( (a_n+\frac{1}{2^n})^2 \) "se parece cada vez más" a \( a_n \).

Saludos.

[AleBD]

Gracias a los dos por ayudarme a entenderlo!