[nktclau]

Hola FORO!!! necesito de vuestra gran ayuda con la siguiente demostración, por favor. 

Probar por inducción que \( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^n}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}>\displaystyle\frac{n+3}{4} \) \( \forall{n}\in{\mathbb{N}} \)

Veamos si \( P(1) \) es verdadero

Si \( n=1\Longrightarrow{\displaystyle\sum_{i=1}^{2^1}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}=1+\displaystyle\frac{1}{3}=\displaystyle\frac{4}{3} \) y si \( n=1\Longrightarrow{\displaystyle\frac{n+3}{4}}=\displaystyle\frac{1+3}{4}=1 \)

Por lo anterior \( P(1) \) es verdero

Veamos si \( P(h)\Rightarrow{P(h+1)} \) es verdadero

Supongo \( P(h) \) es verdadero \( P(h):\displaystyle\sum_{i=1}^{2^h}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}>\displaystyle\frac{h+3}{4} \)

Tesis Inductiva Debo probar que \( P(h+1):\displaystyle\sum_{i=1}^{2^{h+1}}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}>\displaystyle\frac{(h+1)+3}{4} \) es verdadero

Demostración

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^{h+1}}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}=\displaystyle\sum_{i=1}^{2^h \cdot 2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} \)

¿cómo puedo hacer para pode tener la expresión: \( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} \) a partir de la última expresión ??

GRACIAS!!! 

[franma]

Buenas,

Luego de mirarlo un poco se me ocurre:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h \cdot 2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}+  \displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} \)

No se si es del todo correcto (que alguien me corrija si no lo es), espero tal vez te ayude.

Añado un poco mas (si lo anterior es correcto):

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}+  \displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} > \frac{h+3}{4} + \sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}  \)

Queda por lo tanto probar que \( \displaystyle \sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\frac{1}{2i-1}} > \frac{1}{4} \)

Saludos,
Franco.

Corregido (Gracias Luis)

[Juan Pablo Sancho]

Si ese es el camino.

\( \displaystyle \sum_{i=1}^{2^{n+1}} \dfrac{1}{2 \cdot i -1} = \sum_{i=1}^{2^{n+1}} \dfrac{1}{2 \cdot i -1} = \sum_{i=1}^{2^n} \dfrac{1}{2i-1} + \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2i-1} > \dfrac{n+3}{4} + \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2i-1}  \) tienes que probar que \(  \displaystyle \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2i-1} > \dfrac{1}{4}  \)

Spoiler

\(  \displaystyle \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2i-1} > \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2i} = \dfrac{1}{2} \cdot \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{i} > \dfrac{1}{2} \cdot \sum_{i=2^n+1}^{2 \cdot 2^n} \dfrac{1}{2^n}    \)

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas,

Luego de mirarlo un poco se me ocurre:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h \cdot 2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}+  \displaystyle\sum_{i=\color{red}2^h\color{black}}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} \)

No se si es del todo correcto (que alguien me corrija si no lo es), espero tal vez te ayude.

Sería:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h \cdot 2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}+  \displaystyle\sum_{i=\color{red}2^h+1\color{black}}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}>\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}>\\
\qquad \qquad >
\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2^h-1}}>
\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{4\cdot 2^h}}=\dfrac{h+3}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{(h+1)+3}{4} \)

Saludos.

P.D. Se adelantó Juan Pablo Sancho mientras escribía esto.

[franma]

Buenas,

Hola

Buenas,

Luego de mirarlo un poco se me ocurre:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h \cdot 2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}+  \displaystyle\sum_{i=\color{red}2^h\color{black}}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} \)

No se si es del todo correcto (que alguien me corrija si no lo es), espero tal vez te ayude.

Sería:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h \cdot 2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}+  \displaystyle\sum_{i=\color{red}2^h+1\color{black}}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}>\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}>\\
\qquad \qquad >
\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2^h-1}}>
\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{4\cdot 2^h}}=\dfrac{h+3}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{(h+1)+3}{4} \)

Saludos.

P.D. Se adelantó Juan Pablo Sancho mientras escribía esto.

Gracias Luis, ya mismo arreglo mi mensaje.

Saludos,
Franco.

[nktclau]

Hola franma, Juan Pablo Sancho y Luis Fuentes 

Disculpen mi ignorancia, pero de dónde sale ese \( \displaystyle\frac{1}{4} \)?? 

Lo veo de todas formas y veo que "sale" de la expresión \( \displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{4\cdot 2^h}} \) lo que entiendo que ademas por propiedad de sumatoria se puede escribir \( \displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2^h}} \)

Pero no logro por decirlo así entender por que esto es \( 1 \) lo que claro, multiplicado  por \( \displaystyle\frac{1}{4} \) da lo que pregunto


Gracias!!! Por la GRAN AYUDA!

[Luis Fuentes]

Hola

Lo veo de todas formas y veo que "sale" de la expresión \( \displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{4\cdot 2^h}} \) lo que entiendo que ademas por propiedad de sumatoria se puede escribir \( \displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2^h}} \)

Pero no logro por decirlo así entender por que esto es \( 1 \) lo que claro, multiplicado  por \( \displaystyle\frac{1}{4} \) da lo que pregunto

Aquí estas sumando un término constante que no depende del índice \( i \):

\( \displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2^h}} \)

En general:

\( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \)

porque si el índice \( i \) va desde \( a \) hasta \( b \) incluídos, recorre, \( b-a+1 \) sumandos.

Saludos.

[nktclau]

Muchas Gracias Luis Fuentes no sabía esto MIL GRACIAS!!!!

[manooooh]

Hola Luis!

En general:

\( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \)

porque si el índice \( i \) va desde \( a \) hasta \( b \) incluídos, recorre, \( b-a+1 \) sumandos.

Muchas gracias! No conocía la fórmula \( b-a+1 \). ¿Tienes alguna demostración simple de ese resultado?

Por otro lado, no entiendo cuando pones \( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \), en especial qué significa esa \( k \) del miembro derecho. Si por ejemplo \( a=1,b=3,k=i^2 \) se tiene \( \displaystyle\sum_{i=1}^3{}i^2=14 \), ¿pero qué sentido tiene \( (3-1+1)\cdot i^2 \) dado que \( k=i^2 \) no es un número? Ah, creo que ya lo veo. Le estabas indicando a nktclau que como su sumatorio(*) no dependía del índice entonces se interpretaba como una expresión. Creo que si lo aclarases mejor en el mensaje no tendría dudas

Gracias y saludos

(*) Por ejemplo a esto: \( \sum_{i=2}^{3n^2}1/i \), ¿se le dice sumatorio o sumatoria? Siempre creí que era lo primero.

AGREGADO

[franma]

Buenas,

Hola Luis!

En general:

\( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \)

porque si el índice \( i \) va desde \( a \) hasta \( b \) incluídos, recorre, \( b-a+1 \) sumandos.

Muchas gracias! No conocía la fórmula \( b-a+1 \). ¿Tienes alguna demostración simple de ese resultado?

Por otro lado, no entiendo cuando pones \( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \), en especial qué significa esa \( k \) del miembro derecho. Si por ejemplo \( a=1,b=3,k=i^2 \) se tiene \( \displaystyle\sum_{i=1}^3{}i^2=14 \), ¿pero qué sentido tiene \( (3-1+1)\cdot i^2 \) dado que \( k=i^2 \) no es un número?

Gracias y saludos

A lo que refiere Luis con \( k \) es una constante no dependiente de la sumatoria (del índice) , en tu ejemplo \( i^2 \) si depende de la sumatoria por lo que la formula no aplica.

Un ejemplo:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{10}{5} = (10-1)+1 \cdot 5 = 50 \)

La cantidad de veces que sumamos es \( b-a \) pero debemos de sumarle el \( +1 \) ya que incluimos también el mismo \( a \) (lo que dijo Luis).

Saludos,
Franco.