[alvarez]

Muy buenas. Agradecería alguna ayuda o indicación con respecto a estas cuestiones sobre la topología numerable, suponiendo el total = R:

1. Cómo demuestro que no existe ningún subconjunto A contenido en R distinto del vacío y del total que sea a la vez abierto y cerrado en esta topología.

2. Cómo calculo la clausura de los racionales y los irracionales, y cuál es.

3. ¿Existe algún abierto no vacío de la topología contenido en los racionales o en los irracionales?

4. ¿Es Hausdorff, separable o primer axioma de la numerabilidad? *Mi parecer es que no es ninguna de las tres, si es así no necesito más  *

Muchas gracias por todo tipo de solución o indicación 

[Luis Fuentes]

Hola

Muy buenas. Agradecería alguna ayuda o indicación con respecto a estas cuestiones sobre la topología numerable, suponiendo el total = R:

Entiendo que por topología numerable te refieres aquella cuyos cerrados son (además de los triviales) finitos o numerables; equivalentemente aquella cuyos abiertos son (además de los triviales) complementarios de finitos o de numerables.

1. Cómo demuestro que no existe ningún subconjunto \( A\subset \Bbb R \) distinto del vacío y del total que sea a la vez abierto y cerrado en esta topología.

Un conjunto abierto y cerrado distinto de los triviales sería un conjunto finito con complementario finito o numerable con complementario numerable.

Pero ten en cuenta que la unión de un conjunto con su complementario es el conjunto universo; en este caso \( \Bbb R \). La unión de dos finitos es finita; la unión de dos numerables es numerable. Pero  \( \Bbb R \) no es ni finito ni numerable.

2. Cómo calculo la clausura de los racionales y los irracionales, y cuál es.

La clausura de un conjunto es el menor cerrado que lo contiene.

Con esta topología el menor conjunto finito o numerable que lo contiene (o todo \( \Bbb R \) si no está contenido en ningún conjunto numerable).

¿Conlcusión?.

Ahora tengo que irme. Intenta el resto...

Saludos.