Hola
Antes de nada, que me olvidé ayer...
Deza: Bienvenido al foro.
Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.
Sea \( G_+ \) el conjunto de elementos positivos del grupo aditivo no vacío \( G \). Donde \( G \) es un subconjunto de números reales y diferente de \( \{0\} \).
1. Demuestre que, si \( infimo(G_+)=0 \), entonces \( G \) es denso en \( \Bbb R \).
Idea: Para ver que es denso tienes que probar que cualquier abierto \( (a,b) \) corta a \( G \). Si \( infimo(G_+)=0 \) entonces existe un \( g<\in G^+ \) tal que \( 0<g<b-a \), comprueba que necesariamente \( ng\in (a,b) \) para algún entero \( n \).
2. Demuestre que, si \( infimo(G_+)=a>0 \), entonces \( a\in G_+ \) y \( G=\{ka|k\in \Bbb Z\}. \)
Idea. Si \( a\not\in G_+ \) por ser el ínfimo existen \( g,g'\in G \) tal es que \( a<g,g'<2a \). Pero entonces\( a>g-g'\in G \), lo cuál contradice la condición de ínfimo.
Ahora que \( H=\{ka|k\in \Bbb Z\}\subset G \) es inmediato. Por otra parte si existiese \( g\in G \), tal que \( g\not\in H \) comprueba que existe \( k_0a\in H \) tal que \( |g-k_0a|<a \) lo cuál de nuevo contradice la condición de ínfimo.
3. Concluya que si \( t \) en \( \Bbb R \) es irracional, entonces el conjunto de números de la forma \( m + nt, \) con \( m \) y \( n \) enteros es denso en \( \Bbb R \).
Comprueba que para el grupo indicado el ínfimo de su parte positiva \( a \) tiene que ser cero y aplica (1).
Spoiler
En caso contrario por (2), \( a=m_0+n_0t \) y todo elemento del grupo es de la forma \( ka \). En particular \( 1=km_0+kn_0t \). Concluye que \( t \) sería racional.
Saludos.
