Autor Tema: Teorema Fundamental del Cálculo

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20 Enero, 2021, 11:46 pm
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valeperez

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Cuál sería un ejemplo para esto?
Sea \( f : [a, b] → R \) no integrable, tal que existe \( g : [a, b] → R  \) tal que \( g^{\prime}(x) = f \)

20 Enero, 2021, 11:54 pm
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Si no me equivoco (por favor alguien revise), considera

\( f\colon(0,1]\to\Bbb{R}\mid f(x)=\dfrac1x \) no (Riemann) integrable en \( [0,1] \) y \( g\colon(0,1]\to\Bbb{R}\mid g(x)=\ln(x) \).

Se verifica que \( g'(x)=f(x) \).

Saludos

21 Enero, 2021, 12:53 am
Respuesta #2

Carlos Ivorra

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Hola

Si no me equivoco (por favor alguien revise), considera

\( f\colon(0,1]\to\Bbb{R}\mid f(x)=\dfrac1x \) no (Riemann) integrable en \( [0,1] \) y \( g\colon(0,1]\to\Bbb{R}\mid g(x)=\ln(x) \).

Se verifica que \( g'(x)=f(x) \).

La función \( g \) no es derivable en un intervalo cerrado, como se exige.

Considera \( g:[0, 1]\longrightarrow \mathbb R \) dada por

\( g(x)=\cases{x^2\mbox{sen}\,(1/x^2)&si $x\neq 0$,\cr 0&si $x=0$.} \)

Comprueba que \( g \) es derivable en \( [0,1] \), pero que \( f=g' \) no está acotada en \( [0, 1] \), por lo que no es integrable Riemann en \( 0,1[ \).

También hay ejemplos de funciones \( f \) acotadas en estas condiciones, pero son un poco más complicados:

https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra's_function