SOBRE LA SUMA DE DOS POTENCIAS DEL MISMO EXPONENTE
¿EXISTE O NO UNA DEMOSTRACIÓN SENCILLA DEL UTF?
(UN ESTUDIO BREVE)
PROLOGO
¿Se puede demostrar el último teorema de Fermat o UTF (por sus siglas en español) por la vía sencilla?
Esta es la pregunta que se han hecho matemáticos y aficionados. Y a través de todos estos años, ha estado vigente la expectativa de que tal demostración pueda estar al alcance de cualquier mortal, con la suficiente capacidad creativa e intelectiva (por supuesto).
Ante esta aparente posibilidad, varios aficionados se han dado a la tarea de encontrar la supuesta demostración maravillosa del que escribió, en una inocente nota, el abogado francés Pierre de Fermat. Donde “maravillosa” se traduce al lenguaje popular como “sencilla”.
El objetivo que persigue el autor de este breve estudio titulado: “
sobre la suma de dos potencias del mismo exponente, ¿existe o no una demostración sencilla del UTF?”; no es desalentar, en modo alguno, las investigaciones que se puedan hacer con casos particulares. Por ejemplo, para las ecuaciones cúbicas, quintas, etc.
\( a^3+b^3=c^3 \) , \( a^5+b^5=c^5 \) , \( a^7+b^7=c^7 \)
Sin embargo, cuando se trata de abordar el caso general la situación es diferente. Toda vez que intervienen más elementos a analizar y las formas algebraicas se tornan cada vez más complejas.
Este
breve estudio, tiene por finalidad, en cambio, orientar a algunos incautos de no abordar el caso general con las precarias herramientas que ofrecen el álgebra básica, la aritmética elemental, o incluso, la geometría analítica.Y para lograr este objetivo, el autor propone analizar el siguiente objeto matemático,
\( f_n(X,Y)=X^n+Y^n \)
que es una función entera de la suma de dos potencias que exhiben igual exponente.
Por eso, a lo largo de esta travesía,
1) en una primera parte, analizaremos algunas ecuaciones diofánticas que puedan arrojar luz al misterio de la suma de dos potencias. De donde, como aplicación inmediata, podamos determinar intuitivamente los obstáculos inherentes cuando se aborda el UTF con argumentos y métodos que se pueden catalogar como sencillos o fáciles de comprender.
2) En una segunda parte, el autor propone analizar las superficies del tipo,
\( x^n+y^n=z^m \)
Y como caso especial, se estudian ciertas curvas de nivel (cuando m=n) que se exhiben en los planos paralelos al plano XY, del sistema cartesiano en tres dimensiones. A estas curvas el autor denomina “
ecuaciones de Fermat”,
\( x^n+y^n=k^n \)
donde k>0 es un número entero cualquiera.
3) En una tercera parte, se estudian las funciones racionales del tipo:
\( Q_n(X,Y)=\displaystyle\frac{X^n+Y^n}{X+Y} \)
que nos ayudan a comprender mejor que ocurre con la suma de dos potencias del mismo exponente.
4) En una cuarta parte del trabajo, el autor estudia las características generales de ciertas funciones especiales (las funciones factorizables en el sentido épsilon y las funciones racionales RHO). Dichas funciones aún no se han estudiado en el ámbito de la matemática convencional; y por tanto, es una propuesta del autor. Desde luego, en esta cuarta parte, no está demás advertir al lector que no considere con demasiada seriedad lo que aquí se exponga. Aunque basado en argumentos válidos, esta cuarta parte todavía puede ser discutida e incluso rechazada (por carecer de sólidos fundamentos teóricos).
Dicho esto, solo me queda advertir al lector, que para comprender fluidamente el contenido de este breve estudio; necesita tener conocimientos elementales de: algebra básica, teoría de números (nivel básico), cálculo de superficies (conceptos fundamentales), nociones de variable compleja y teoría matricial (nivel básico).
(El autor)
ACLARACIÓN NECESARIA
La presente, y las posteriores entregas, no pretenden herir suceptibilidades de nadie. Si algún lector se siente aludido por algún comentario que pueda interpretarse como negativo, pido anteladamente las disculpas pertinentes. Insto, al amable lector, que este material se lea con espíritu crítico y autocrítico.
Por otro lado, a veces nos sentimos felices intentando resolver cuestiones como el UTF por nuestros propios medios. Si el lector se siente satisfecho haciendo eso, el autor no está en condiciones de decir que eso sea malo o bueno. Rescato las palabras de
PabloN que aunque lo dijo en otro contexto, también se puede aplicar aquí:
“nadie es quién para desincentivar a una persona a hacer las actividades que le gustan, y que no causan ningún perjuicio a terceros” . Mencionado en :
Saludos...
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