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Mensajes - Luis Fuentes

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1
Hola

Lo veo de todas formas y veo que "sale" de la expresión \( \displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{4\cdot 2^h}} \) lo que entiendo que ademas por propiedad de sumatoria se puede escribir \( \displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2^h}} \)

Pero no logro por decirlo así entender por que esto es \( 1 \) lo que claro, multiplicado  por \( \displaystyle\frac{1}{4} \) da lo que pregunto

Aquí estas sumando un término constante que no depende del índice \( i \):

\( \displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2^h}} \)

En general:

\( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \)

porque si el índice \( i \) va desde \( a \) hasta \( b \) incluídos, recorre, \( b-a+1 \) sumandos.

Saludos.

2
Hola

Pruebe que dos enteros distintos de la forma a
$$
a^{2^{m}}+1, a^{2^{n}}+1
$$
son primos relativos entre si a es par y tiene máximo común divisor 2 si a es
impar

Si \( n>m \) y llamas \( a^{2^m}=x \) tienes que:

\( a^{2^{n}}+1=(x^{2^{n-m}}-1)+2 \)

Pero \( x^{2^{n-m}}-1 \) es divisible por \( x+1 \), por tanto:

\( mcd(x^{2^{n-m}}+1,x+1)=mcd(2,x+1) \)

Si \( x+1 \) es par, es decir, si \( a^{2^m}=x \) es impar, entonces el mcd es \( 2 \). En otro caso \( 1 \).

Saludos.

3
Hola

Buenas,

El enunciado dice lo siguiente:
Sean \( u \) y \( v \) dos vectores de \( R^3 \)
Hallar \( ‖v‖ \) y \( ‖u+v‖ \) sabiendo que el angulo entre \( u \) y \( v \) es \( \frac{\pi}{4} \), que \( ‖u‖ = 3 \) y que el angulo entre \( u+v \) y \( u \) es igual a \( \frac{\pi}{6} \).

Hasta el momento hice lo siguiente:
\( <u+v,u>=(u_1+v_1)u_1+(u_2+v_2)u_2+(u_3+v_3)u_3=‖u‖^2 + <u,v> \)

\(  cos(\frac{\pi}{4})=\frac{<u,v>}{‖u‖\cdot‖v‖} \rightarrow <u,v>=cos(\frac{\pi}{4})\cdot ‖u‖\cdot‖v‖ \)

Luego aqui he intentado despejar en:
\( \displaystyle cos(\frac{\pi}{6})=\frac{<u,v> + ‖u‖^2 }{‖u+v‖\cdot‖u‖} = cos(\frac{\pi}{6})=\frac{cos(\frac{\pi}{4})\cdot ‖u‖\cdot‖v‖ + ‖u‖^2 }{‖u+v‖\cdot‖u‖} \)

Pero no logro llegar a nada.

Tienes:

(1) \( (u+v)u=\|u+v\|\|u\|cos(\pi/6) \)
(2) \( \|u+v\|=\sqrt{\|u\|^2+\|v\|^2+2\|u\|\|v\|cos(\pi/4)} \)

y también:

(3) \( (u+v)u=\|u\|^2+uv=\|u\|^2+\|u\|\|v\|cos(\pi/4) \)

En (1) sustiyue usando (2) e iguala a (3): tienes una ecuación de donde despejar \( \|v\| \).

Saludos.

P.D. Otra opción es tener en cuenta que los datos dados equivalen a conocer de un triángulo \( ABC \) un lado \( a=\|u\|=3 \), y los ángulos \( C=3\pi/4 \) y \( B=\pi/6 \), con los lados \( c=\|u+v\| \) y \( b=\|v\| \). Con el teorema de los senos sale.

4
Hola

Buenas,

Luego de mirarlo un poco se me ocurre:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h \cdot 2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}+  \displaystyle\sum_{i=\color{red}2^h\color{black}}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} \)

No se si es del todo correcto (que alguien me corrija si no lo es), espero tal vez te ayude.

Sería:

\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h \cdot 2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}+  \displaystyle\sum_{i=\color{red}2^h+1\color{black}}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}>\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}>\\
\qquad \qquad >
\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2^h-1}}>
\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{4\cdot 2^h}}=\dfrac{h+3}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{(h+1)+3}{4} \)

Saludos.

P.D. Se adelantó Juan Pablo Sancho mientras escribía esto.

5
Hola

Vayamos al grano, sino se dilata innecesariamente , una opción sobre la cual no puedes establecer el valor de verdad, ,tiene el mismo contenido lógico que una opción falsa? ...si/no?

Es que la pregunta es confusa; porque no estoy seguro de que significado le das a "contenido lógico".

Sea como sea, ya veo por donde vas. Antes de nada: la premisa de que se escoge al azar entre (a), (b), (c) y (d) supone que es escoge cada una de las cuatro respuestas con un 25% independientemente del contenido de las mismas. En todo caso si no pudiéramos decidir si alguna de ellas es o no respuesta correcta, entonces la pregunta estaría mal planteada. Pero lo que no tiene sentido por ello es descartarlas y repartir la probabilidad entre las restantes. Eso es directamente cambiar el problema; contestar a otra cosa distinta.

Entiendo que tu idea era algo así como eliminar de la ecuación las respuestas que dan lugar a paradoja.

Saludos.

6
Triángulos / Re: Homotecias 2
« en: Ayer a las 09:48 pm »
Hola

Al \( \triangle ABC \) de la figura adjunta se le aplica una homotecia con centro en el punto \( M(-1,1) \) y razon de homotecia \( -3 \), obteniendose el \( \triangle PQR. \)



Si la imagen del punto \( A \) es \( P \) y la imagen del punto \( B \) es \( Q \), ¿Cuáles son las coordenadas del punto \( R \)?

A) \( (9,-3) \)

B) \( (-6,-2) \)

C) \( (5,1) \)

D) \( (3,1) \)

E) \( (9,1) \)

Mira los enlaces que te indiqué aquí.

Una homotecia de centro \( (-1,1) \) y razón \( -3 \) viene dada por la ecuación:

\( t(x,y)=(-1,1)-3((x,y)-(-1,1)) \)

Aplícasela al punto \( C=(-3,1) \).

Saludos.

7
Cuadriláteros / Re: Homotecias 1
« en: Ayer a las 09:43 pm »
Hola

Hola, no entiendo homotecia... Quizás me falta leer un buen apunte.

Mira aquí:

http://caminos.udc.es/info/asignaturas/grado_tecic/101/AL2/homotecia.html

y/o este vídeo:


Saludos.

8
Libros / Re: Algunos libros clásicos pasados a LaTeX
« en: Ayer a las 09:34 pm »
Hola

 No sé si era este:

https://www.gutenberg.org/ebooks/36670

Saludos.

9
Hola

Hola,
Tratando de resolver un problema de sistemas dinámicos, me surgió probar lo siguiente:
Consideren la función \( f(x)=\displaystyle\frac{5}{2}x(1-x) \), si \( x\in{  \left(0,\displaystyle\frac{2}{5} \right)} \), entonces existe una \( n\in{\mathbb{N}} \) tal que \( f^{n}(x)\in{ \left[\displaystyle\frac{2}{5},\displaystyle\frac{3}{5} \right]} \), donde \( f^{n} \) denota la composición de \( f \) con ella misma \( n \) veces.
Al gráficar \( f^{n} \) para varios valores de \( n \) es claro que eventualmente esto pasa, pero no he tenido éxito en probarlo de manera más rigurosa. Además de que los libros que he visto usan el argumento "el análisis gráfico muestra que..." pero me gustaría buscar un argumento más formal que ese jaja. ¿Alguna sugerencia?.
De antemano gracias.

Tienes que si \( x\in (0,4/5) \):

\( \left|f(x)-\dfrac{3}{5}\right|=\dfrac{5}{2}\left|x-\dfrac{3}{5}\right|\left|x-\dfrac{2}{5}\right|<\left|x-\dfrac{3}{5}\right| \)

Además  si \( x\in (0,1) \), \( x(1-x)<1/4 \) y \( f(x)<5/8 \).

Por tanto dado \( x_0\in (0,2/5) \) si definimos \( x_n=f(x_{n-1}) \) deduce que \( x_n\to \dfrac{3}{5} \).

Además:

\( \left(\dfrac{3}{5}-f(x)\right)=\dfrac{5}{2}\left(x-\dfrac{3}{5}\right)\left(x-\dfrac{2}{5}\right) \)

si \( x_n>3/5 \) entonces \( x_{n+1}<3/5 \).

Con esto ya lo tienes.

Saludos.

10
Hola

 Te quedará algo así:

\(  g(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x\leq r_0^2\\\dfrac{(3r_0^2-r_1^2-2x)(r_1^2-x)}{r_0^3-r_1^3} & \text{si}& r_0^2\leq x\leq r_1^2\\ {0}&\text{si}& x> r_1^2\end{cases} \)

 Después:

\(  f(\vec x)=f(\|\vec x\|^2) \)


Saludos.

11
Problemas y Desafíos / Re: Transformaciones de funciones
« en: Ayer a las 09:22 am »
Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 En particular debes de adjuntar las imágenes al mensaje y no enlazarlas a servidores externos al foro. Además debes de cuidar la ortografía.

 Por esta vez te hemos corregido el mensaje desde la administración.

Tengo un problema con transformaciones de funciones, me dieron la gráfica de una función racional y me piden que encuentre la ecuación que representa dicha grafica, el problema es que en base a la teoría no logro hacer que la ecuación que encuentro concuerde con la grafica. Alguien que este mas familiarizado con el tema me podróa decir en que me estoy equivocando?
Esta es la gráfica

Spoiler
[cerrar]

de la gráfica puedo ver que tiene asíntotas verticales en \( x=-1 \) y \( x=2 \), además de eso también tiene asíntota horizontal \( y=1 \) y sus cortes con los ejes son \( (0,1) \); \( (1,0) \); \( (3,0) \)

lo mas cercano que pude conseguir es lo siguiente, pero no cumple que pase por el punto \( (0,1) \)

Spoiler
[cerrar]

 Toma:

\(  f(x)=\dfrac{(x-1)(x-3)(x^2+a)}{(x+1)^2(x-2)^2}  \)

 y escoge \( a \) para que \( f(0)=1 \).



Saludos.

12
Hola

 Sinceramente Richard R Richard, no sé que más decir al respecto. Sigo sin entender tu punto de vista. Me sigue pareciendo que hablas de algo que NO es el problema propuesto. Si se elige al azar es que se tiran sucesivamente dos monedas: si sale cara-cara se elige (A), si sale cara-cruz se elige (B), si sale cruz-cara se elige (C) y si sale cruz-cruz se elige (D). Esto es independiente de lo que digan A,B,C,D. Después para analizar el problema (si tiene respuesta; si es paradójico o lo que sea) es cuando desde el punto de vista lógico vemos el contenido de las cuatro opciones y si es posible que representen la probabilidad adecuada del respuesta al problema.

 Disculpa si me repito.

totalmente de acuerdo Luis, las opciones disparate,,aún son respuestas no correctas, casi improbables, pero lógicas. no imposibles, hay diferencia en eso verdad?.

En realidad, no la hay. Realmente no sé muy bien a que llamas respuesta lógica. Si preguntan, cuánto vale \( 2+2 \) la respuesta es \( 4 \). Esa es la única "lógica". Es decir ante preguntas con una única respuesta objetiva, sólo hay dos opciones o la respuesta es correcta o no lo es. Tan incorrecto es decir \( 2+2=5 \) que \( 2+2=4.0000000000001 \) ó \( 2+2=peluche \).

Citar
el grado de verdad  de una respuesta no hace que sea descartable, pero una no posible sí. Puesto que

Probabilidad = caso positivos / casos posibles.

En una pregunta tipo TEST los casos totales son cada una de las opciones ofertadas, por más disparatadas que sean. En realidad esa fórmula es más bien casos "totales; le estás dando a "posibles" un significado que no es el correcto; como si hubiese que analizar el grado de verosimilitud de las respuestas para darles la categoría de "posible".

Citar
tu me dices que los casos posibles  son 4 porque eso es el número de opciones, pero ese no es el número de opciones posibles, para calcular la probabilidad de acertar,

Estoy en total desacuerdo. Lo reitero. Si hay 4 opciones, cada una de ellas es una posible respuesta, por las propias reglas del juego de un test.

Citar
No Luis entiendo que es quedarme con el cálculo puro de probabilidad, dentro de las matemáticas, que entiendo es solo el análisis de estructuras lógicas. Yo entiendo tu punto de vista, puedes ver el mío aunque no lo compartas como solución a la paradoja?.

Así, que no, no comparto nada de tu punto de vista.  ::) ::) ::)

Saludos.

13
Hola

Buenas posteo este ejercicio

La letra del ejercicio 2 dice así:

->Definir un archivo GeoGebra, un deslizador \( x_0 \) en el intervalo \( [-20,20] \)

->Considerar la inecuación de la forma \( x^2+px+q \leq x+2 \) con \( p \) y \( q  \) números reales. Hallar \( p,q \) en función de \( x_0 \) sabiendo que \( [-2, x_0] \) si \( x_0>-2 \) o \( [x_0,-2] \) si \( x_0<-2 \) es la solución de dicha inecuación.

->Representar la inecuación en GeoGebra de forma tal que al mover el deslizador se visualicen la recta y parábola involucradas en la inecuación y se vea la solución correspondiente.

La inecuación equivale a:

\( x^2+(p-1)x+q-2\leq 0 \)

es una parábola que toma valores negativos entres sus dos raíces. La solución propuesta indica que tales raíces deben de ser \( -2 \) y \( x_0 \).

De donde:

\( (x+2)(x-x_0)=x^2+(p-1)x+q-2 \)

y así:

\( 2-x_0=p-1 \)
\( q-2=-2x_0 \)

es decir:

\( p=3-x_0 \)
\( q=2-2x_0 \)

Saludos.

14
Hola

es que una opción no lógica no es opción, de no ser posible no cuenta en el denominador. así que no creo que contradiga mi razonamiento, puesto que he reducido los casos posibles(mi denominador a ofertas lógicas),  entonces si sucede que todas las opciones que resultaron lógicas, tienen la descripción 100%, entonces la probabilidad de elegir cualquiera suma 100%, todas serán factibles de elegirse, cualquiera de ellas al azar.

Lo siento; sigo sin verle a sentido alguno. Si el enunciado dice "si elegimos al azar"; es el azar, punto. Ese es el supuesto bajo el cual se hace la pregunta.

Si se pregunta: "¿Qué animal mamífero tiene trompa, colmillos, orejas enormes y vive en África?, dan los opciones "a) Manzana. b) Pera. c) Melocotón d) Elefante. La probabilidad de acertar si escogemos al AZAR es un 25%. Eso es impepinable; por más disparate que sean las otras opciones. ¿De acuerdo o no?.

El eliminar las opciones "no lógicas" es irse a otro problema, no al que se plantea. En el que se plantea una de las premisas esenciales es que se está suponiendo que se escoge al azar la respuesta.

Así que sigo sin entender tu planteamiento. Te mueves en unos supuestos que no son los del problema; algo así como si en lugar de responder al azar, se escogiese la más lógica. O se tratase de "ganar" el desafío o no se qué.

Saludos.

15
Hola

Estoy viendo el teorema 1.6 el de los axiomas de Peano, y veo que se listan los 5 axiomas que todos conocemos. Pero para mi sorpresa se realiza la demostración de cada axioma. ¿No era que los axiomas son postulados que se adoptaban como verdaderos? En ese caso no deberían llamarse "axiomas" en el libro pues tienen demostración, sino algo como "Propiedades", "Proposiciones" etc.

Aunque contestará mejor Carlos, en lo que estás leyendo el define los naturales a partir del Axioma de Infintud, y luego proporcional algún modelo y prueba como Teorema los "axiomas" de Peano.

Más adelante, páginas 18, 19 (atención a la Definición 1.12 y comentario posterior) prueba que también podrían construirse a partir de los Axiomas de Peano.

Saludos.

16
Hola

¿Cómo puedo dar una interpretación particular del conjunto de los números Naturales, su construcción axiomática, así como sus propiedades fundamentales.?

Por ejemplo echa un vistazo a las páginas 10 a 12 y 18 a 27 de este libro:

Álgebra. Carlos Ivorra Castillo.

Saludos.


17
Hola

Mejor para cada problema un hilo distinto.

La letra del ejercicio 1 dice así:

->Definir un archivo GeoGebra, un deslizador \( x_0 \) en el intervalo \( [-18,-2] \)

->Considerar la inecuación de la forma \( ax-5>=3x+2 \) con a un número real. Hallar \( a \) en función de \( x_0 \) sabiendo que \( (-infinito, x_0] \) es la solución de dicha inecuación. ¿Qué condición debe cumplir \( a \)?

->Representar la inecuación en GeoGebra de forma tal que al mover el deslizador se visualicen las rectas.

Hacer la inecuación visible en un cuadro de texto.

 La solución de \( ax-5\geq 3x+2 \) es:

\( (a-3)x\geq 7 \)

 Es decir:

\(  x\geq \dfrac{7}{a-3} \) si \( a>3 \)
\(  x\leq \dfrac{7}{a-3} \) si \( a<3 \)

 no tiene solución si \( a=3 \).

 Como queremos que la solución sea \( x\leq x_0<0 \), eso se da cuando:

\(  \dfrac{7}{a-3}=x_0 \)

 es decir:

\( a=3+\dfrac{7}{x_0} \)

Saludos.

18
Hola

Veamos si ahora se entiende la idea con un nuevo enunciado como me proponían.


Proponemos un juego, se pide elegir al azar una opción entre las disponibles, el problema cuenta con \( n \) opciones, se acierta cuando la opción elegida  contiene en su descripción un valor porcentual igual la probabilidad total que se tiene de acertar el propio problema  como sumatoria de la cantidad  de opciones \( i \) respecto del total  de opciones \( n \) que contienen justamente  ese valor de probabilidad en la descripción.


Entonces si el que diseña el problema lo hará consistente lógicamente, si


  • Entre las opciones escribe 1 cuya descripción indique la probabilidad \( 1/n \)  ó
  • Entre las opciones escribe 2 cuyas descripciones indique la probabilidad \( 2/n \)  ó
  • …..
  • Entre las opciones escribe \( n \) cuya descripción indique la probabilidad \( n/n \)  100%
Esto significa  que no habría paradoja si así fuera o fueran escritas  las opciones, o dicho de otro modo.


Tiene que haber  \( i \)  descripciones que contengas el valor \( i/n \) de probabilidad, siendo \( i \) la cantidad de opciones que tienen en la descripción en el total de oferta de opciones  con el valor de probabilidad \( i/n \).
Así que podemos hacer un problema paradójico, no respetando lo anterior en cualquiera de las \( n \) opciones.
Cuando decía que podía responder si mirar el contenido de las opciones, porque solo así soy libre de elegir al azar, me equivocaba, porque así definido el juego tiene el problema asignar un valor de probabilidad a cada posible confección de las opciones, con lo que tenemos infinitas combinaciones no lógicas por sobre unas tampoco finitas posibles combinaciones que provean algún acierto. Que quiero decir, que solo es posible establecer la probabilidad total de acertar, leyendo las opciones, contando cuantas tienen el mismo valor de probabilidad dividir la cantidad contada por el número de ofertas disponibles, y si coincide con el valor de la opción, es que habrá un resultado lógico.


Pero si se evalúan todas las opciones y no se encuentra un resultado lógico, entonces hay paradoja, pues la probabilidad total de acertar para cada opción es distinta a la brindada en la opción.

Hasta aquí, de acuerdo.

Citar
Ahora ya habiendo definido 1 combinación de  \( n \) opciones de la infantas combinaciones de \( n \) opciones posibles, si nos ponemos a evaluar  la probabilidad total de acertar para cada valor de opción disponible, ya estamos evaluando si existen \( i \) opciones con valor \( i/n \), no estamos actuando al azar pues la probabilidad de escoger depende  de \( i/n = \)valor de la opción


Como en todo juego el objetivo es acertar, y si en las opciones, se lee una opción 100%, si escoges al azar pierdes porque el porcentaje de éxito solo será 100% si todas las opciones son 100%, pero si escoges adrede la opción porque sabes es la ganadora, para ti la opción tiene un 100% de probabilidad de éxito, y la puedes escoger para ganar que es el objetivo del juego… y me dirán y el azar??? No habiendo otras opciones lógicas como \( 1/n \) ,  2 opciones de \( 2/n \) etc. , es la única que garantiza ganar y tiene el 100% de probabilidad de escogerse, ya que el resto no son lógicamente viables, y me dirán y es solo 1 entre \( n \)  la probabilidad de escogerla al azar,  pero  es la única que el azar te permite escoger y te asegura el éxito, con resultado  puedo escoger 1 sobre 1 =100% , el resto las he descartado lógicamente , pues me dejaron leer su contenido.
 A ver si es la única opción lógica, es la única que se cuenta para escoger dadas las opciones realmente dadas no n, si el resto son inconsistentes, no suman ni a favor ni en contra de la probabilidad de acertar, no son opciones posibles de elegir, luego \( n \) se va reduciendo hasta la unidad.

Aquí me pierdo totalmente; realmente no se que se supone que quieres concluir. No se a donde quieres llegar a parar.

Si vuelves a defender que elegir la opción 100% supuesto que sólo estuviese ofertada en una opción; está mal. De hecho contradice tu primera parte del razonamiento. Insisto en queel enunciado habla de elegir al azar, no de elegir al azar entre las opciones lógicas, sino elegir al azar entre las cuatro opciones.

Si querías decir otra cosa, explica cuál, porque como te dije antes no acabo de tener claro que estás defendiendo.

Saluds.

19
Matemáticas Generales / Re: Resolver un ejercicio de tribonacci
« en: 09 Mayo, 2021, 03:16 pm »
Hola

Hola a todos, no se como resolver este ejercicio:

Sea \(  F_{n+3}= F_{n+1} + F_n  \) y \(  F_0=F_1=F_2=1  \). Encuentre la ecuación característica, la expansión en potencias y la función generadora.

Lo que llevo hasta ahora es la ecuación característica \(  x^3-x-1=0  \) y sus raíces \(  x_1=1.32472, x_{2,3}=-0.66236\pm{}0,56228i  \), pero que sean complejas me confunde y sinceramente no sé que mas hacer.

Si nos ceñimos a las preguntas:

- La ecuación característica es esta: \(  x^3-x-1=0  \).
- La "expansión en potencias" no estoy seguro a que se refiere.
- La función generadora es la serie de potencias que tiene como coeficiente la sucesión dada:

\( f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}F_nx^n \)

Multiplicando por \( x^{n+3} \) y aplicando el sumatorio en:

\( F_{n+3}=F_{n+1}+F_n \)

se tiene:

\( \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}F_{n+3}x^{n+3}=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}F_{n+1}x^{n+3}+\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{}F_{n}x^{n+3} \)

\( f(x)-F_0-F_1x-F_2x^2=x^2(f(x)-F_1)+x^3f(x) \)
\( f(x)-1-x-x^2=x^2f(x)-x^2+x^3f(x) \)
\( f(x)-x^2f(x)-x^3f(x)=1+x \)

de donde:

\( f(x)=\dfrac{1+x}{1-x^2-x^3} \)

Saludos.

20
Hola

Y ahora justifica que ya no hay más soluciones por encima de este valor porque si \( n>81 \) fuese otra solución, entonces el producto de los impares menores que \[ \sqrt[ ]{n} \] sería mayor que \[ n \].

Una forma de ver esto:

Spoiler
Sea \( a\geq 7 \) el mayor impar tal que \( n\geq a^2 \), es decir:

\( (a+2)^2\geq n \)

Entonces \( a,a-2,a-4 \) son impares coprimos cuyo cuadrado es menor que \( n \) y por tanto su producto debería de ser un divisor de \( n \):

\( (a+2)^2\geq n\geq a(a-2)(a+4) \)

Ahora es fácil ver que para \( a\geq 7 \) esta desigualdad es falsa.
[cerrar]

Saludos.

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