Rincón Matemático

Matemática => Análisis Matemático => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: Grilllo en 26 Noviembre, 2006, 10:43 pm

Título: Acercándonos a los irracionales
Publicado por: Grilllo en 26 Noviembre, 2006, 10:43 pm
Sean A, B numeros enteros constantes y sean X, Y enteros variables, sea I un numero irracional constante, demostrar que existen k, X, Y para todo N tal que N>k>0 tal que:

AX+B-YI = k

Saludos
Título: Re: Acercándonos a los irracionales
Publicado por: Lupas en 02 Diciembre, 2006, 11:02 am
No entiendo bien la condición sobre k. Pides para todo N demostrar que existen k,X,Y tales que N>AX+B-YI>0. ¿N es un número natural? Si es así ¿no llegaría con imponer la condición 1>AX+B-YI>0?  (si queda probado para N=1, ya está probado para cualquier N mayor). Si no... no se, no la entiendo bien si puedes explícamela gracias.

Saludos
Título: Re: Acercándonos a los irracionales
Publicado por: Lupas en 02 Diciembre, 2006, 11:05 am
Ah no se si ya lo veo. Te refieres a demostrar que para todo épsilon>0 existen X e Y enteros tales que 0<AX+B-YI<epsilon creo. Me lié antes, el título me ayudó a aclararme  ;)
Título: Re: Acercándonos a los irracionales
Publicado por: Grilllo en 02 Diciembre, 2006, 07:09 pm
N es un real positivo.

Saludos
Título: Re: Acercándonos a los irracionales
Publicado por: Luis Fuentes en 04 Diciembre, 2006, 09:24 am
Hola

 Una forma de verlo:

 Sea C el conjunto de números reales que pudes construir de la forma:

 \( Ax+yI \) con \( x,y\in Z \)

 - Comprueba que si en C hay un elemento tan pequeño como quieras entonces puedes encontrar x',y' tal que Ax'+y'I se acerque a B tanto como quieras.

 - Fíjate que C es un subgrupo de R (si sumas dos elementos de C te da un nuevo elemento de C; todo elemento de C contin). Quieres probar que hay un elemento tan pequeño como desees. Por ser C subgrupo, esto es equivalente a probar que en C hay dos elementos tan próximos como quieras.

 - Hay infinitos elementos diferentes en C contenidos en el intervalo [0,A]. Ya que si y recorre los enteros siempre puedes escoger un x, de manera que \( yI+Ax\in [0,A] \).

 - Todo conjunto infinito en un compacto contiene una sucesión de Cauchy. Por tanto en C hay puntos tan próximos como quieras....

 - Termina tú.

Saludos.


Título: Re: Acercándonos a los irracionales
Publicado por: Grilllo en 04 Diciembre, 2006, 08:32 pm
Ufs la matemática que mencionas está más allá de mis conocimientos, tal vez el próximo año tenga el nivel para continuarlo.

Saludos.