Buenas,
Luego de mirarlo un poco se me ocurre:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h \cdot 2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}+ \displaystyle\sum_{i=\color{red}2^h\color{black}}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} \)
No se si es del todo correcto (que alguien me corrija si no lo es), espero tal vez te ayude.
HolaBuenas,
Luego de mirarlo un poco se me ocurre:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h \cdot 2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}+ \displaystyle\sum_{i=\color{red}2^h\color{black}}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} \)
No se si es del todo correcto (que alguien me corrija si no lo es), espero tal vez te ayude.
Sería:
\( \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h \cdot 2}{\displaystyle\frac{1}{2i-1}} = \displaystyle\sum_{i=1}^{2^h }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}+ \displaystyle\sum_{i=\color{red}2^h+1\color{black}}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}>\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2i-1}}>\\
\qquad \qquad >
\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2\cdot 2\cdot 2^h-1}}>
\dfrac{h+3}{4}+\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{4\cdot 2^h}}=\dfrac{h+3}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{(h+1)+3}{4} \)
Saludos.
P.D. Se adelantó Juan Pablo Sancho mientras escribía esto.
Lo veo de todas formas y veo que "sale" de la expresión \( \displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{4\cdot 2^h}} \) lo que entiendo que ademas por propiedad de sumatoria se puede escribir \( \displaystyle\frac{1}{4}\displaystyle\sum_{i=2^h+1}^{2^h \cdot 2 }{\displaystyle\frac{1}{2^h}} \)
Pero no logro por decirlo así entender por que esto es \( 1 \) lo que claro, multiplicado por \( \displaystyle\frac{1}{4} \) da lo que pregunto
En general:
\( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \)
porque si el índice \( i \) va desde \( a \) hasta \( b \) incluídos, recorre, \( b-a+1 \) sumandos.
Hola Luis!En general:
\( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \)
porque si el índice \( i \) va desde \( a \) hasta \( b \) incluídos, recorre, \( b-a+1 \) sumandos.
Muchas gracias! No conocía la fórmula \( b-a+1 \). ¿Tienes alguna demostración simple de ese resultado?
Por otro lado, no entiendo cuando pones \( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \), en especial qué significa esa \( k \) del miembro derecho. Si por ejemplo \( a=1,b=3,k=i^2 \) se tiene \( \displaystyle\sum_{i=1}^3{}i^2=14 \), ¿pero qué sentido tiene \( (3-1+1)\cdot i^2 \) dado que \( k=i^2 \) no es un número? ???
Gracias y saludos
Muchas gracias! No conocía la fórmula \( b-a+1 \). ¿Tienes alguna demostración simple de ese resultado?
Por otro lado, no entiendo cuando pones \( \displaystyle\sum_{i=a}^b{}k=(b-a+1)\cdot k \), en especial qué significa esa \( k \) del miembro derecho. Si por ejemplo \( a=1,b=3,k=i^2 \) se tiene \( \displaystyle\sum_{i=1}^3{}i^2=14 \), ¿pero qué sentido tiene \( (3-1+1)\cdot i^2 \) dado que \( k=i^2 \) no es un número? ??? Ah, creo que ya lo veo. Le estabas indicando a nktclau que como su sumatorio(*) no dependía del índice entonces se interpretaba como una expresión. Creo que si lo aclarases mejor en el mensaje no tendría dudas ::)