Yo creo que mis dos pregunta son básicamente muy sencillas y solo espero una respuesta sencilla:
1.- ¿que valores toma la expresión del diferencial de una función?
Yo no puedo dar más respuesta porque no sé más, no sé casi de diferenciales ni de análisis
Pero sí puedo plantear algo sobre los números infinitesimales, como entes sueltos, sacándolos de contextos teóricos más avanzados; creo que deberíamos analizar antes esto, creo que está “antes”.
Sabemos que los números enteros son finitos (es decir, acaban en una última cifra y detrás ya no hay más) esto implica que su valor, como cantidad, sea finito. Del mismo modo, los números reales siempre representan valores de cantidad finita, pues un número real consta de un entero sumado a una mantisa cuyo valor, como cantidad, está entre cero y menos de 1. No existen reales que representen cantidades infinitas.
Pero qué es un número. Pues no sabría definirlo muy bien, sólo sabría decir que se pueden clasificar haciendo consideraciones distintas: como una cantidad, como cadena de cifras...
Dicho esto, consideremos un número real irracional, como pueda ser el número “e”.
Tenemos esto 2,71828...
La cantidad, en cuanto a valor, es obviamente finita, pues vale menos de 3. Sin embargo, tiene una cantidad infinita de cifras.
Ahora procedamos así: pensemos en una cifra de la mantisa del número “e” muy “lejana”, tanto que nunca nadie, contando cifras, llegue a ella. Digámoslo así, no digamos “infinitas cifras”, nadie llegará a encontrar una cierta cifra.
A esa cifra que nunca encontrará nadie la llamo “k” y escribo 2,71828...k.
Acto seguido le quito todas las cifras de delante
0,000...k
Y me hago la pregunta: ¿qué cantidad es ésa? Ninguna cantidad, es cero, pues nunca encontraremos otra cosa que ceros. Pero cero de verdad, como cantidad es el número entero cero, ni un poquito más.
Para decir que es un poquito más, habría que cargarse la definición que he elegido, la de que nadie puede llegar a encontrar (usar o manejar) “k”.
Ahora bien, nada me impide plantear esto, por ejemplo \( \dfrac{0,000...k}{0,000...k}
\); y no importa no encontrar “k”, no lo necesitamos para decir que el cociente es 1 por mucho que esa cantidad sea cero; además, no existe ninguna contradicción ni cosa rara en lo que digo, la única condición es que no haya un cero de más arriba que abajo, pero mientras haya los mismos, puede haber tantos como uno quiera, que el cociente no va a cambiar.
Ahora tomemos una cifra distinta de “k”, sea “m”, quitemos la “k” y pongamos la “m”: 0,000...m. Así, nadie llegará a encontrar “m” y para nosotros será exactamente (y digo exactamente) la misma cantidad de antes, cero.
En cambio, si por ejemplo tomamos \( \dfrac{0,000...k}{0,000...m}
\) no será mismo el cociente.
Claro, una cosa es una cantidad y otra una proporción, cociente o como se quiera decir.
Ahora, sí puedo responder a cuál es el valor real, en cuanto a cantidad, de “dx” (si se considera que “dx” es un número infinitesimal) y la respuesta no puede ser otra que la misma, es cero, como número real, es una constante, y no una variable. Y no me meto en cosas de las que sé poco, no quiero decir que deje de ser una función, me refiero a su valor infinitesimal y a la cantidad que representa en los reales.
Saludos.
