[Jabato]

Conforme a lo que se discutió en el último debate de Robottero hablando sobre el límite de una familia de curvas yo propuse una forma de medir conjuntos basada en el método del recuento de cajas "counting box", os recomiendo que releais el artículo ya que corregí algunas cosas que estaban incorrectas en él, podeis velo en el mensaje #39 de este debate:

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=15555.20

y eso me ha hecho meditar en lo que ahora os voy a comentar.

La dimensión fractal es un parámetro que puede ser considerado localmente, (también puede calcularse como valor medio para un determinado conjunto, ocurre lo mismo que con la densidad, por poner un ejemplo sencillo) no hay duda de eso, es perfectamente posible construir conjuntos en los que dicho parámetro varíe de unos puntos a otros y por lo tanto a la hora de medir dichos conjuntos deberíamos plantear una suma de la forma:

\( M = \displaystyle\lim_{\quad n \to{+}\infty}{}\displaystyle\sum_{i=1}^n{m_i}^{r_i}} \)

en la que \( m_i \) representaría la medida de la celda compacta (el elemento diferencial a considerar)(quizás la medida Lebesgue fuera la mas adecuada) y \( r_i \) la dimension fractal relativa en el punto donde se ubica dicho elemento, dimensión que podría a su vez medirse aplicando otra vez el método del recuento de cajas a la celda en cuestión, y que sería en general un parámetro variable entre 0 y 1 función a su vez del punto considerado.

Esto parece que nos conduce a un nuevo concepto de integral a la hora de medir conjuntos:

\( \mu(\Omega)=\displaystyle\int_{\Omega}^{}(d\Omega)^r \)

y que supone una generalización para todo tipo de conjuntos de la expresión que podríamos considerar clásica:

\( \mu(\Omega)=\displaystyle\int_{\Omega}^{}d\Omega \)

Siendo la primera válida para todo tipo de conjuntos con \( r \neq{0} \) incluso para conjuntos con \( r \) variable mientras que la segunda es válida solo para conjuntos con \( D \) entera que son los compactos de la geometría clásica. La forma en que dichas integrales deban ser calculadas es otro problema distinto ya que sospecho que la regla de Barrow no funciona con este tipo de integrales, pero no es eso lo que ahora me preocupa.

¿Que opinais al respecto?

Ahora no tengo demasiado tiempo, pero en cuanto pueda trataré de poneros un ejemplo para obtener una medida del conjunto de Cantor, que por poder construirse como el límite de un conjunto con dimensión topológica 1 es muy adecuado al caso, aunque su dimensión fractal no es variable, es constante en todol los puntos del conjunto.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Es ya muy conocido el valor de la dimensión fractal del polvo de Cantor así que no me entretendré en calcularla, vale exactamente:

\( D=r=log_{3}\ 2=\displaystyle\frac{log2}{log3}<1 \)

pero en todos los textos dedicados a este curioso conjunto se afirma, sin lugar a dudas, que su medida es nula, logicamente se trata de su medida referida a la dimensión 1, es decir su longitud, pero ... ¿que ocurre si referimos su medida a su verdadera dimensión, que es en este caso menor que 1 y realizamos el cálculo en la forma que propuse unas lineas mas arriba? Pues muy sencillo, veamos lo que ocurre, cada paso en la iteración en el proceso de construcción multiplica el número de celdas compactas del segmento [0, 1] por 3, lo que nos conduce al valor \( 3^n \), de las cuales solo \( 2^n \) celdas intersecan con el fractal, por lo tanto de acuerdo con lo dicho hasta el momento podemos estimar su medida (usando el método propuesto y la medida Lebesgue para los compactos) en:

\( M = \displaystyle\lim_{\quad n \to{+}\infty}{}\displaystyle\sum_{i=1}^n{m_i}^r}=\displaystyle\lim_{\quad n \to{+}\infty}{}2^n\left(\displaystyle\frac{1}{3^n\right)^{r}}=1 \)

medida que está referida a su propia dimensión y que demuestra que los fractales tienen una medida propia no nula ni infinita, al igual que cualquier otro conjunto de la geometría clásica. Para cualquier otro valor seleccionado para \( r \) la medida resultaría ser ó nula ó infinita, pero no para su propia dimensión.

Cuando querais hacemos la prueba con cualquier otro fractal autosemejante, ó con cualquier conjunto compacto de la geometría clásica.

Y lo más interesante de todo este asunto es la generalización que nos permite desarrollar sobre el concepto de medida y de integración, que es desde luego lo que más me llama la atención.

Saludos, Jabato.

[Luis Fuentes]

Hola

pero en todos los textos dedicados a este curioso conjunto se afirma, sin lugar a dudas, que su medida es nula, logicamente se trata de su medida referida a la dimensión 1, es decir su longitud,

No. No en todos. Se afirma que su medida de Lebesgue es cero. Pero en (mucho de) aquellos en que se trabaja con la medida de Hausdorff se afirma que su \( s \)-dimension de Hausdorff es uno (siendo \( s \) su dimensión de Hausdorff que coincide con la "box-counting").

En concreto parece que la investigación en este tema esta "copada" por los chinos que tienen una cantidad de artículos al respecto "flipante" (los muy... tienen algunos en chino  ).

Conste esto lo acabo de leer ahora mirando un poco en las bases de datos de artículos. Como dije estoy bastante pez en el asunto.

Por otra parte hay una medida "packing measure" muy parecida a la que indicas, pero no estoy seguro si es exactamente la misma. La mayor parte de los artículos que he encontrado no son de acceso libre (ni siquiera en mi Universidad - no estamos suscritos a las revistas). El formalismo, oscurece un poco la idea.

Trato de buscar un texto libre aclaratorio pero de momento no lo he encontrado.

Saludos.

[Jabato]

Pues según he podido entender parece que este documento aclara algo lo que son ambas cosas, pero si mi inglés formal y mis matemáticas formales dejan algo que desear ya te imaginarás lo que he sido capaz de entender en este documento, a ver si tu eres capaz de capatar la idea y traducirla al "roman palatino".

http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.rae/1212763959

PD:Tampoco ando demasiado puesto con el chino, ni mandarían ni cantonés, una lástima.

En cualquier caso no resulta demasiado misterioso, al menos no lo es para mi, que la medida de un conjunto pueda expresarse en la forma que expuse más arriba, creo que es una exposición simplificada de la medida Hausdorff, ahora bién, como ya indiqué, lo que me resulta más atractivo del asunto es la manera en que dicha medida puede expresarse en forma integral, combinada con la dimensión fractal, vista esta última como una propiedad local, y desde luego una interpretación como esa no la he visto nunca. Resulta bastante tentador ver si existe una forma simplificada de resolver dichas integrales, tratando de encontrar una versión generalizada a dimensiones no enteras del concepo de función primitiva, ó similar.

Saludos, Jabato.

[Jabato]

Puesto que para poder plantear el cálculo de la medida en la forma que se expuso más arriba, me refiero al formato integral:

\( \mu(\Omega)=\displaystyle\int_{\Omega}^{}(d\Omega)^r \)

es necesario conocer la expresión de \( r \) como una función dependiente de las coordenadas del punto, es necesario establecer una forma de determinar dicha expresión, y la única manera que se me ocurre es como límite de una sucesión en la forma que explicaré ahora. Supongamos que tenemos un conjunto \( C \) y que queremos calcular del valor de \( r \) en uno de sus puntos. Aplicamos el método del recuento de losetas a una bola de radio \( \epsilon \) cualquiera centrada en el punto con lo que obtendremos un valor medio \( r(\epsilon) \) en dicho entorno. Tendríamos entonces que:

\( r=\displaystyle\lim_{\epsilon \to 0}{}r(\epsilon) \)

debiento extender la integración solo a los puntos en que \( r>0 \).

No cabe duda de que para ciertos conjuntos llevar este método a la práctica puede resultar imposible, aunque podemos considerar la integración en otra forma y es la de suponer que \( r \) sea el valor medio de la dimensión fractal en \( d\Omega \), en cuyo caso el método si parece más viable, aunque esto podría conducirnos a valores no correctos.

No sé si ambas consideraciones sean equivalentes, si pudiera demostrarse que ambas formas conducen al mismo valor el problema estaría resuelto. La existencia de \( r>0 \) como límite en todos los puntos de \( C \) quizás pudiera garantizar la equivalencia de ambos métodos.

Traducido al lenguaje de límites esta última forma de cálculo vendría a ser lo siguiente:

\( \displaystyle\lim_{\quad n \to{+}\infty}{}\displaystyle\sum_{i=1}^n{m_i}^{r_i}} \)

en la que \( r_i \) toma su valor medio en la celda i, calculando dicho valor al aplicar el recuento de losetas a toda la celda considerada, lo que simplificaría el cálculo de la medida. Al igual que antes solo deben tenerse en cuenta aquellas celdas en que \( r_i>0 \), de manera que el cálculo definitivo debería quedar como:

\( \mu(C)=\displaystyle\int_{\Omega}^{}{(d\Omega)^r}=\displaystyle\lim_{\quad n \to\infty}{}\displaystyle\sum_{i=1}^n{m_i}^{r_i}} \)

suma que estaría extendida solo a las celdas con \( r_i>0 \)
 
Saludos, Jabato.