Jode... Vaya tela. Ok osea q parametrizacion....
Bueno muchas gracias por las respuestas.
Preguntare en algun tema mas indicado igual, a ver si lo saco.
Veamos .... hallemos la distancia recorrida desde/hasta el vértice de la parábola. Si el trayecto real no termina/empieza en el vértice, tendrás que hallar dos valores y sumarlos o restarlos según que el proyectil pase o no por el vértice.
lo primero que necesitamos es la ecuación de la parábola. Poco nos importa donde esta situado el vértice o que orientación tiene la parábola, pues esto no cambia las longitudes. Por tanto, vamos a considerar la parábola \( y = kx^2 \) y hallar la distancia a lo largo de la parábola desde el vértice \( (0, 0)\textrm{ al punto }(d, kd^2) \). En tu caso, sería \( y = 300x^2 \).
La longitud de una curva \( y = f(x)\textrm{ entre }x = a\textrm{ y }x = b \) se calcula como:
\( L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt[ ]{1 + \left(f'(x)\right)^2}\,dx \)
En nuestro caso, la distancia de \( (0, 0)\textrm{ a }(d, kd^2) \) será:
\( L(d) = \displaystyle\int_{0}^{d}\sqrt[ ]{1 + \left(2kx\right)^2}\,dx= \displaystyle\int_{0}^{d}\sqrt[ ]{1 + 4k^2x^2}\,dx \)
Hagamos el cambio \( 2kx = \senh t \). También puede hacerse si desconoces las funciones hiperbólicas el cambio \( 2kx = \tg t \), pero es más largo y el resultado es menos compacto. Tenemos que
\( dx = \dfrac{1}{2k}\cosh t\,dt \)
\( \sqrt[ ]{1 + \left(2kx\right)^2}= \sqrt[ ]{1 + \senh^2 t} = \cosh t \)
\( 0 = \senh 0, \;\;d' = \textrm{arcsenh} (2kd) \)
\( L(d) = \dfrac{1}{2k}\displaystyle\int_{0}^{d'}\cosh^2\,dt = \dfrac{1}{2k}\displaystyle\int_{0}^{d'} \dfrac{1}{2}\left(1+\cosh(2t)\right)\,dt= \dfrac{1}{4k}\displaystyle\int_{0}^{d'} 1+\cosh(2t)\,dt \)
\( L(d) = \dfrac{1}{4k} \left |{t + \dfrac{1}{2} \senh(2t)}\right | _0^{d'} = \dfrac{1}{4k}\left(d' + \dfrac{1}{2}\senh(2d')\right) = \dfrac{1}{4k}\left(\textrm{arcsenh}(2kd) + 2kd\sqrt[ ]{4k^2d^2 + 1}\right) \)
En tu caso, para hallar la distancia desde el punto de disparo hasta el vértice, debemos tomar d = 1, k = 300 y
\( L(1) = \dfrac{1}{1200}\left(\textrm{arcsenh}(600) + 600\sqrt[ ]{360001}\right)\approx{}300.006325 \)
Poco más, como te decía, de lo que supone sustituir la parábola por dos segmentos rectilíneos.
Para hallar la distancia entre dos puntos, distintos del vértice, hallas la distancia de cada uno de ellos al vértice y las sumas o restas según corresponda.
Saludos,
