[ani_pascual]

ani_pascual cómo llegas a la solución particular? Cuál parte hay que derivar? Es que allí no entiendo , por favor necesito los pasos intermedios

Hola;
Tienes que partir de la suposición de que la solución particular en este caso es del tipo \( y_p(t)=te^t(A\cos t +B\sen t) \), por lo que he comentado antes. Ahora deriva para hallar \( y_p'(t) \) y \( y_p''(t) \). Luego impones que \( y_p''(t)-2y_p'(t)+2y_p(t)=8e^t\sen t \) y calculas el valor de \( A \) y \( B \). El método de los coeficientes indeterminados es tedioso, pero al final, con paciencia se llega a "buen puerto".
Saludos

[lorena.zambrano]

Las derivadas que he obtenido son las siguientes:
\( y_p= te^t (A cos(t)+ B sin(t)) \)

\( y'_p= e^t((A + At + Bt)cos(t)+(B-At+Bt)sin(t)) \)

\( y"_p= 2e^t(A + B+ Bt)cos(t)-(A-B+At)sin(t)) \)

Luego :
\( 2e^t(A + B+ Bt)cos(t)-(A-B+At)sin(t))-2(e^t((A + At + Bt)cos(t)+(B-At+Bt)sin(t)))+2(te^t (A cos(t)+ B sin(t))= 8e^t sen (t) \)

\( -2A(t) sin(t)+B(t)sin(t)+2Be^tsin(t)-Asin(t)+2Be^tcos(t)= 8e^tsin(t) \)

¿Es correcto?

[ani_pascual]

Las derivadas que he obtenido son las siguientes:
\( y_p= te^t (A cos(t)+ B sin(t)) \)

\( y'_p= e^t((A + At + Bt)cos(t)+(B-At+Bt)sin(t)) \)

\( y"_p= 2e^t(A + B+ Bt)cos(t)-(A-B+At)sin(t)) \)

Luego :
\( 2e^t(A + B+ Bt)cos(t)-(A-B+At)sin(t))-2(e^t((A + At + Bt)cos(t)+(B-At+Bt)sin(t)))+2(te^t (A cos(t)+ B sin(t))= 8e^t sen (t) \)

\( -2A(t) sin(t)+B(t)sin(t)+2Be^tsin(t)-Asin(t)+2Be^tcos(t)= 8e^tsin(t) \)

¿Es correcto?

Hola:
Lo veo correcto; ahora, ya sabes, desarrolla (iguala los coeficientes del coseno y del seno de ambos miembros de la igualdad), cancela términos y resuelve el sistema; hallarás que \( B=0 \) y \( A=-4 \); ya tienes la solución particular \( y_p(t)=-4te^t\cos t \) con lo cual la solución general de la ecuación completa queda \( y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1e^t\cos t+C_2e^t\sen t -4te^t\cos t \) con \( C_1,C_2\in\mathbb{R} \)
Saludos

[lorena.zambrano]

ani_pascual cómo llegas a esa solución?  A mí me ha salido
\( 2B+2B=2A+A \)
\( 4B=3A \)
Estoy más que segura que esto está mal, por eso me gustaría que me dijeras de qué forma llegaste al resultado.

[ani_pascual]

ani_pascual cómo llegas a esa solución?  A mí me ha salido
\( 2B+2B=2A+A \)
\( 4B=3A \)
Estoy más que segura que esto está mal, por eso me gustaría que me dijeras de qué forma llegaste al resultado.

Hola:
La exponencial se simplifica, e identificando los coeficientes del coseno y del seno de ambos miembros de la igualdad se obtiene el sistema:
\( \left\{\begin{array}{l}2(A+B+Bt)-2(A+At+Bt)+2At=0\\-2(A-B+At)-2(B-At+Bt)+2Bt=8\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2B=0\\-2A=8\end{array}\right. \) luego \( \boxed{B=0} \), \( \boxed{A=-4} \)
Ya te dije que hay que "armarse" de paciencia   
Saludos

[lorena.zambrano]

  Gracias a ti ani_pascual por la paciencia qué has tenido conmigo.