Hola
El cual explica que
\[ \sqrt{4} \neq 2 \]
Alguien puso una supuesta demostración
\( \sqrt{x}=\left |\sqrt{x}\right | \)
Escribiendo \( x=(\sqrt{x})^2 \)
Aplicando raíz cuadrada en ambos lados
\[ \sqrt{x}=\sqrt{(\sqrt{x})^2} \]
Aplicando la definición de valor absoluto
\( \sqrt{x}=\left |\sqrt{x}\right | \)
¿Cuál es el error del vídeo y de la demostración anterior?
Lo único que hay que entender, es que como cuando uno utiliza cualquier símbolo en matemáticas, hay que tener clara que definición se usa del mismo. En algunos casos la definición totalmente universal; en otros casos dependiendo del autor o del contexto, puede variar.
Entonces, en cálculo, álgebra y análisis real,
la raíz cuadrada de un número no negativo \( x \) suele DEFINIRSE como el ÚNICO número NO NEGATIVO que elevado al cuadrado da \( x \).Con esta definición \( \sqrt{4}=+2 \), sin matices, dudas ni ambigüedades.
Es la definición más extendida porque permite manipular la raíz cuadrada como una función que a cada valor del dominio le así una única imagen y además manejar sin ambigüedad expresiones como \( 3+\sqrt{7} \) y cosas así.
Es la que yo recomiendo usar por defecto; y si uno quiere referirse a las dos raíces (la positiva y negativa), escribir \( \pm \sqrt{4} \).
En otro tipo de contexto, como el análisis complejo, es útil a veces considerar funciones multivaluadas y en ese caso
definir la raíz de un número \( x \) como el CONJUNTO de números cuyo cuadrado es \( x \). En ese caso tendríamos \( \sqrt{4}=\{-2,2\} \).
En cuanto a esto:
Alguien puso una supuesta demostración
\( \sqrt{x}=\left |\sqrt{x}\right | \)
Escribiendo \( x=(\sqrt{x})^2 \)
Aplicando raíz cuadrada en ambos lados
\[ \sqrt{x}=\sqrt{(\sqrt{x})^2} \]
Aplicando la definición de valor absoluto
\( \sqrt{x}=\left |\sqrt{x}\right | \)
No se que se supone que está demostrando y bajo que hipótesis; aparentemente parte de una hipótesis \( \sqrt{x}=\left |\sqrt{x}\right | \) y llega... ¡a la misma hipótesis!.
Qúedate con que la clave es la DEFINICIÓN de raíz cuadrada que se esté dando.
Saludos.
