Hola me gustaria ver si por favor me ayudan a solucionar el siguiente ejercicio:
La ley fuerte de los grandes números nos dice \( \left\{{ X_n, n\geq{1} }\right\} \) son iid con \( E|X_1|< \infty \) muestre que:
\( S_n/n \longrightarrow E(X_1) \)(convergencia casi segura)
Para demostrar esto deberás tener algún criterio para determinar si algo converge de manera casi segura. Por ejemplo si
\( \displaystyle{
\Pr [|S_n/n-\mathrm{E}[X_1]|>\epsilon \text{ infinitamente a menudo }]=0
} \)
para todo \( \epsilon >0 \) entonces obtienes que
\( \displaystyle{
\Pr [|S_n/n-\mathrm{E}[X_1]|=0 \text{ eventualmente }]=1
} \)
que es lo que quieres demostrar. Ahora el resultado se sigue del segundo lema de Borel-Cantelli, aunque la demostración tiene algo de miga. Supongo que cómo lo demuestres dependerá de otros resultados que conozcas.
tambien que:
\( S_n/n \longrightarrow
E(X_1) \)(convergencia en L1)
Hit: Piense en la integrabilidad uniforme.
Aquí te piden demostrar que
\( \displaystyle{
\lim_{n\to\infty}\mathrm{E}[|S_n/n-\mathrm{E}[X_1]|]=0
} \)
A no ser que se me esté escapando algo esto último se demuestra fácilmente utilizando la desigualdad triangular, lo que tiene más miga es la primera parte. A ver si con lo dicho ya puedes resolverlo.
Corrección: no, esta segunda parte también tiene miga. Aquí es donde tienes que utilizar la integrabilidad uniforme.
