[YeffGC]

Hola estoy enredado intentando demostrar lo siguiente:

Sea \( X_n  \)en \( N(0,\sigma^2_n)  \), ¿cuando será \( \{ X_n  \}  \) uniformemente integrable?

No se si he traducido mal el ejercicio del ingles pero no comprendo cuando puede ser U.i

[Luis Fuentes]

Hola

Hola estoy enredado intentando demostrar lo siguiente:

Sea \( X_n  \)en \( N(0,\sigma^2_n)  \), ¿cuando será \( \{ X_n  \}  \) uniformemente integrable?

No se si he traducido mal el ejercicio del ingles pero no comprendo cuando puede ser U.i

Tienes que \( X_n=\sigma_nZ \) donde \( Z \) es una normal \( N(0,1). \)

Por definición tendría que cumplirse que:

\( \displaystyle\lim_{a \to \infty}{}E[X_n\cdot 1|_{|X_n|>a}]=0 \) uniformemente en \( n \)

Equivalentemente:

\( \displaystyle\lim_{a \to \infty}{}\sigma_nE[Z\cdot 1|_{Z>a/\sigma_n}]=0 \) uniformemente en \( n \)

Entonces por ejemplo si \( \sigma_n \) es acotado se tiene la integrabilidad uniforme. Aunque probablemente esto es una condición demasiado exigente.

Saludos.

[YeffGC]

Pero como justifico o mejor dicho encuentro un \( \sigma_n \) que cumpla la siguiente condición

\( 0\leq \sigma_n < \infty  \)

Para demostrarlo con concepto de límite

[Luis Fuentes]

Hola

Pero como justifico o mejor dicho encuentro un \( \sigma_n \) que cumpla la siguiente condición

\( 0\leq \sigma_n < \infty  \)

Para demostrarlo con concepto de límite

No acabo de comprenderte. Entiendo que el ejercicio pide caracterizar que propiedad tiene que cumplir la sucesión \( \{sigma_n\} \) para que, si \( X_n  \)en \( N(0,\sigma^2_n)  \), entonces \( \{ X_n  \}  \) sea uniformemente integrable.

Por ejemplo es inmediato que si \( \sigma_n=1 \) para todo \( n \) se cumpliría que \( \{ X_n  \}  \) es uniformemente integrable. Lo que pasa es que es una caracterización demasiado pobre; hay otras muchas \( \sigma_n \) que igualmente dan una sucesión uniformemente integrable.

Yo no he sido capaz de dar una respuesta definitiva; he hecho una manipulación de la cuál se deduce también fácilmente otra condición un poco menos exigente que la anterior pero que sospecho que tampoco es la mejor posible: si \( \{\sigma_n\} \) es acotada entonces \( \{ X_n  \}  \) es uniformemente integrable.

¿En todo esto cuál es tu duda?.

Saludos.