Hola tengo problemas con este ejercicio
Sea \( M \)el espacio de todas las sucesiones reales. Dados \( x = (x_i)_i \; , y = (y_i)_i \in M \), defina
\( d(x,y) = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-y_i| , 1 \}} \)
Pruebe que \( (M, d) \) es un espacio métrico. Sea \( \{ x^{(k)} \}_k \)una sucesion \( M \). Pruebe que \( x^{(k)} \rightarrow x \) para \( d \) si y solo si \( {x_i}^{(k)} \rightarrow x_i \; \forall{i} \; \in \mathbb{N}. \)
Lo que he hecho:
\( (i) \; d(x,x)=0 \)
\( d(x,x)= \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-x_i| , 1 \}} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |0| , 1 \}} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2}} \cdot 0 = 0 \)
\( (ii) \; If \; x \neq \) y entonces \( d(x,y) > 0 \)
\( d(x,y) = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-y_i| , 1 \}} \)(No se muy bien que argumento dar para decir que siempre la expresión es mayor que cero)
\( (iii) \; d(x,y)=d(y,x) \)
\( d(x,y) = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |x_i-y_i| , 1 \}} = \displaystyle\sum_{i=1}^\infty{\displaystyle\frac{1}{i^2} \; min \{ |y_i-x_i| , 1 \}} = d(y,x) \)
\( (iv) \; d(x,z) \leq{} d(x,y) + d(y,z) \)
Para cada \( i \in \mathbb{N} \) se cumple que:
\( \begin{align}\min\{|x_i-z_i|,1\}&\leqslant\min\{|x_i-y_i|+|y_i-z_i|,1\}\\&\leqslant\min\{|x_i-y_i|,1\}+\min\{|y_i-z_i|,1\};\end{align} \)
(Tendría que demostrarlo)
Para la segunda parte
Pruebe que \( x^{(k)} \rightarrow x \)para \( d \) si y solo si \( {x_i}^{(k)} \rightarrow x_i \forall{i } \; \in \mathbb{N}. \)
Me han sugerido intentar lo siguiente pero no lo entiendo bien:
Si \( \lim_{k\to\infty}x^{(k)}=x \) y \( i\in\Bbb N \), tomamos \( \varepsilon>0 \). Entonces si \( k \) es lo suficientemente grande \( d\left(x^{(k)},x\right)<\frac\varepsilon{i^2}. \) ( ¿Por que la distancia será menor que \( \frac\varepsilon{i^2} \) )
En particular, \( \frac1{i^2}\min\left\{\left|x_i^{(k)}-x_i\right|,1\right\}<\frac\varepsilon{i^2}, \) y por lo tanto \( \min\left\{\left|x_i^{(k)}-x_i\right|,1\right\}<\varepsilon, \) lo que implica \( \left|x_i^{(k)}-x_i\right|<\varepsilon \)
Finalmente, si \( \lim_{i\to\infty}x_i^{(k)}=x_i \) para cada \( i\in\Bbb N \) y si \( \varepsilon>0 \), tomamos \( M\in\Bbb N \)tal que \( \sum_{i=M+1}^\infty\frac1{i^2}<\frac\varepsilon2 \) (De aqui en adelante me perdi)
Para cada\( i\leqslant M \), tomamos \( N_i\in\Bbb N \) tal que \( k\geqslant N_i\implies\frac1{i^2}\left|x_i^{(k)}-x_i\right|<\frac\varepsilon{2N}. \) Entonces \( k\geqslant\max\{N_1,N_2,\ldots,N_M\}\implies d\left(x^{(k)},x\right)<\frac\varepsilon2+\frac\varepsilon2=\varepsilon. \)
De antemano gracias.
Saludos