Autor Tema: Cuestion de teoria de la medida e Integral de Lebesgue

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06 Abril, 2021, 12:19 pm
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jorgepm

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Muy buenos dias, soy nuevo en el foro y el ejercicio con relación a este tema es el siguiente;

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida y sea \( L^{1}(\mu) \) el conjunto de todas las funciones integrables,
con el convenio de que dos funciones \( f,g\in{L^{1}(\mu)} \) son iguales si \( f(x)=g(x) \) en casi todo punto.


1. Probar que \( L^{1}(\mu) \) es un espacio vectorial

2. Probar que la expresion \( ||f||_1 \)=\( \displaystyle\int_{X}|f| d\mu \) define una norma en \( L^{1}(\mu) \)

3. Probar que si \( (X,M,\mu) \) es completo entonces (\( L^{1}(\mu), ||·||_1 \))  es un espacio de Banach.


Muchas gracias por adelantado

06 Abril, 2021, 12:38 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Muy buenos dias, soy nuevo en el foro y el ejercicio con relación a este tema es el siguiente;

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida y sea \( L^{1}(\mu) \) el conjunto de todas las funciones integrables,
con el convenio de que dos funciones \( f,g\in{L^{1}(\mu)} \) son iguales si \( f(x)=g(x) \) en casi todo punto.


1. Probar que \( L^{1}(\mu) \) es un espacio vectorial

2. Probar que la expresion \( ||f||_1 \)=\( \displaystyle\int_{X}|f| d\mu \) define una norma en \( L^{1}(\mu) \)

3. Probar que si \( (X,M,\mu) \) es completo entonces (\( L^{1}(\mu), ||·||_1 \))  es un espacio de Banach.


Muchas gracias por adelantado


Es un ejercicio trivial, ¿tienes alguna duda específica? Todos los puntos son consecuencias directas de las propiedades de la integral de Lebesgue y de las definiciones de espacio vectorial, norma y espacio de Banach respectivamente.

06 Abril, 2021, 07:25 pm
Respuesta #2

jorgepm

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Muy buenos dias, soy nuevo en el foro y el ejercicio con relación a este tema es el siguiente;

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida y sea \( L^{1}(\mu) \) el conjunto de todas las funciones integrables,
con el convenio de que dos funciones \( f,g\in{L^{1}(\mu)} \) son iguales si \( f(x)=g(x) \) en casi todo punto.


1. Probar que \( L^{1}(\mu) \) es un espacio vectorial

2. Probar que la expresion \( ||f||_1 \)=\( \displaystyle\int_{X}|f| d\mu \) define una norma en \( L^{1}(\mu) \)

3. Probar que si \( (X,M,\mu) \) es completo entonces (\( L^{1}(\mu), ||·||_1 \))  es un espacio de Banach.


Muchas gracias por adelantado


Es un ejercicio trivial, ¿tienes alguna duda específica? Todos los puntos son consecuencias directas de las propiedades de la integral de Lebesgue y de las definiciones de espacio vectorial, norma y espacio de Banach respectivamente.



Hay muchas partes que si me han salido pero otras me he quedado encallado, os agradeceria mucho si me pudieseis ayudar con estas partes.

1. Para probar que \( L^{1}(\mu) \) es un espacio vectorial lo que he hecho es escribir el conjunto \( L_1 \)={f tal que f es integrable}={f tal que \( \displaystyle\int_{X}f^+ d\mu \) y \( \displaystyle\int_{X}f^- d\mu \) son finitas}
Y como en tal caso se escribe \( \displaystyle\int_{X}f d\mu \) = \( \displaystyle\int_{X}f^+ d\mu \) y \( \displaystyle\int_{X}f^- d\mu \),
pues he pensado coger \( {f,g,h}\in{}L^{1}(\mu) \) y \( \alpha \) real y ver que se cumplen la propiedad asociativa, la conmutativa, nuestro, opuesto y distributiva para ver que es espacio vectorial.

La duda que tengo con este apartado es que al probar las propiedades no se si tengo que usar las funciones integrables o sus integrales como tal.
Ademas no se donde hay que usar la condicion de que dos funciones \( f,g\in{L^{1}(\mu)} \) son iguales si \( f(x)=g(x) \) en casi todo punto.


2. La unica propiedad que no me sale para probar que es norma es la propiedad triangular


3.No se por donde cogerlo, si me pudierais ayudar os agradeceria mucho

saludos

06 Abril, 2021, 10:21 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Hay muchas partes que si me han salido pero otras me he quedado encallado, os agradeceria mucho si me pudieseis ayudar con estas partes.

1. Para probar que \( L^{1}(\mu) \) es un espacio vectorial lo que he hecho es escribir el conjunto \( L_1 \)={f tal que f es integrable}={f tal que \( \displaystyle\int_{X}f^+ d\mu \) y \( \displaystyle\int_{X}f^- d\mu \) son finitas}
Y como en tal caso se escribe \( \displaystyle\int_{X}f d\mu \) = \( \displaystyle\int_{X}f^+ d\mu \) y \( \displaystyle\int_{X}f^- d\mu \),
pues he pensado coger \( {f,g,h}\in{}L^{1}(\mu) \) y \( \alpha \) real y ver que se cumplen la propiedad asociativa, la conmutativa, nuestro, opuesto y distributiva para ver que es espacio vectorial.

La duda que tengo con este apartado es que al probar las propiedades no se si tengo que usar las funciones integrables o sus integrales como tal.
Ademas no se donde hay que usar la condicion de que dos funciones \( f,g\in{L^{1}(\mu)} \) son iguales si \( f(x)=g(x) \) en casi todo punto.


2. La unica propiedad que no me sale para probar que es norma es la propiedad triangular


3.No se por donde cogerlo, si me pudierais ayudar os agradeceria mucho

saludos


En el apartado 1 tienes que mostrar que si \( f,g\in L_1 \) entonces \( \alpha f+ \beta g\in L_1 \) para cualesquiera \( \alpha , \beta \in \mathbb{R} \). Eso es lo mismo que demostrar la siguiente implicación

\( \displaystyle{
\int |f|<\infty \text{ y }\int |g|<\infty \implies \forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}: \int |\alpha f+\beta g|<\infty
} \)

De momento olvídate de que \( f=g \) si son iguales en casi todo punto, en este caso no lo necesitas. Donde sí lo necesitas es en el apartado 2 al demostrar que es una norma ya que \( \|x\|=0 \) si y solo si \( x=0 \). En este caso lo que ocurre es que en los espacios \( L_p \) se consideran conjuntos de funciones como si fuesen una sola, donde en ese conjunto cualquier par de funciones se diferencia en a lo sumo un conjunto de medida nula, es decir, que son iguales en casi todas partes.

La desigualdad triangular de la norma en \( L_1 \) se sigue de la  desigualdad triangular en \( \mathbb{R} \), ya que si \( |f+g|\leqslant |f|+|g| \) entonces tomando integrales a ambos lados de la igualdad ésta se conserva. ¿Por qué se conserva? Porque la integral de una función no-negativa da como resultado un número no-negativo y por tanto

\( \displaystyle{
|f|+|g|-|f+g|\geqslant 0\implies \int (|f|+|g|-|f+g|)\geqslant 0\iff \int |f|+|g|\geqslant \int |f+g|
} \)

El 3 está mal redactado ya que lo que pase en el espacio de medida no afecta en nada a la completitud de \( L_1 \). Lo que sí afecta es que \( \mathbb{R} \) sea un espacio métrico completo. En este apartado tienes que demostrar que toda sucesión de Cauchy en \( L_1 \) converge a una función en \( L_1 \), para eso, a partir de la sucesión de Cauchy, tienes que fabricar un candidato a función a la cual converge y demostrar que converge a ella y que es integrable.

De la teoría que tengas a tu disposición dependerá de cómo lo demuestres. Por ejemplo si sabes que las funciones simples aproximan cualquier función integrable entonces el problema se reduce a verlo utilizando una sucesión Cauchy de funciones simples. Sabiendo que la diferencia de dos funciones simples es otra función simple se simplifica aún más. Igualmente es cierto que este resultado no es tan trivial.

Hay un teorema que simplifica enormemente estas cuestiones de comprobar si un espacio vectorial normado es de Banach y dice así: sea un espacio vectorial normado \( (X,\|\cdot \|) \), entonces \( X \) es completo si y solo si para toda sucesión \( \{x_n\} \) se cumple que

\( \displaystyle{
\sum_{n\geqslant 0}\|x_n\|<\infty \implies \sum_{n\geqslant 0}x_n\in X
} \)

Si todas las funciones son no-negativas el resultado es inmediato ya que necesariamente todos los \( x\in X \) tales que \( \sum_{n\geqslant 0}f_n(x)=\infty  \) forman un conjunto de medida nula, ya que de otro modo \( \sum_{n\geqslant 0}\|f_n\| \) no podría ser finito. Por tanto \( \sum_{n\geqslant 0}f_n(x) \) converge para casi todo \( x \), cumpliéndose el teorema de arriba para funciones no-negativas. El caso general se sigue descomponiendo cada \( f_n \) en sus partes positivas y negativas.

06 Abril, 2021, 10:40 pm
Respuesta #4

argentinator

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Si ya se ha probado antes que el espacio de las funciones medibles es un espacio vectorial, entonces es suficiente probar que el conjunto de funciones integrables es un subespacio, con lo cual  sólo hay que verificar que si \(\alpha,\beta\), escalares y \(f,g\), integrables, entonces \(h=\alpha f + \beta g\) es integrable.

Para las propiedades de norma,
usar que la integral es monótona.
Digamos que si \(0\leq F \leq G\),
entonces
\[0\leq \int F \leq \int G.\]
¿Cómo elegir adecuadamente las funciones \(F\) y \(G\) para comprobar la desigualdad triangular deseada?

Para la completitud, comprobar que si \(f_n\) es una sucesión de funciones integrables, de Cauchy en norma \(\|\|_1\), entonces es de Cauchy en medida,
y por \(\mu\)-completitud, converge en medida a una función \(f\).
Habrá una subsucesión \(f_{n_k}\) que converge a \(f\) en \(\mu\)-casi todo punto.

Acá hay que investigar en los apuntes de teoría las propiedades ya demostradas de la integral, cuál es la que sirve para probar que \(|f_{n_k}-f|\) converge a 0 en integral.  8^)

Ahora bien, ¿es cierto que si una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente, la sucesión original converge?

06 Abril, 2021, 11:45 pm
Respuesta #5

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y por \(\mu\)-completitud, converge en medida a una función \(f\).
Habrá una subsucesión \(f_{n_k}\) que converge a \(f\) en \(\mu\)-casi todo punto.

¿Qué es la \( \mu \)-completitud? ¿La completitud en el sentido de la extensión de Carathéodory, que cada subconjunto de un conjunto de medida nula tiene medida nula también? Si es así me sorprende un poco, nunca he leído nada al respecto (aclaro que yo entendí que por completitud se refería en el sentido métrico, pero tiene más sentido que fuese en el sentido de la medida claro).

Añado: he mirado varios libros de análisis y en ninguno se menciona la necesidad de que \( \mu \) tenga que ser completa para que \( L_p(\mu) \) sea un espacio de Banach. Las demostraciones transcurren todas sin que se utilice ese dato ni se presuponga tal completitud.

07 Abril, 2021, 03:58 pm
Respuesta #6

jorgepm

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Muchas gracias a los dos por vuestras respuestas, me han sido de muchisima utilidad  :) :) :)

07 Abril, 2021, 07:05 pm
Respuesta #7

argentinator

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y por \(\mu\)-completitud, converge en medida a una función \(f\).
Habrá una subsucesión \(f_{n_k}\) que converge a \(f\) en \(\mu\)-casi todo punto.

¿Qué es la \( \mu \)-completitud? ¿La completitud en el sentido de la extensión de Carathéodory, que cada subconjunto de un conjunto de medida nula tiene medida nula también? Si es así me sorprende un poco, nunca he leído nada al respecto (aclaro que yo entendí que por completitud se refería en el sentido métrico, pero tiene más sentido que fuese en el sentido de la medida claro).

Añado: he mirado varios libros de análisis y en ninguno se menciona la necesidad de que \( \mu \) tenga que ser completa para que \( L_p(\mu) \) sea un espacio de Banach. Las demostraciones transcurren todas sin que se utilice ese dato ni se presuponga tal completitud.

Una medida es completa en sentido de Cauchy si toda sucesión de Cauchy en medida es también convergente en medida.

Sin embargo, toda sucesión de funciones de Cauchy en medida converge en medida a alguna función, y todas las funciones a las que converge la sucesión difieren en un conjunto de medida 0.

Me dejé confundir por el enunciado.
Creo que, como vos decís, no hace falta pasar por la convergencia en medida para probar el resultado.
Basta aplicar el criterio de convergencia absoluta de series, y las propiedades típicas de las integrales (Lema de Fatou, etc.).