Ya he seguido pero tengo dudas de la siguiente parte:
Tenemos una serie de potencias centrada en el origen cuyos coeficientes son \[ \left |{a_n}\right |=a_n=\frac{1}{\log(n+2)} \quad \forall \ n\in \mathbb{N} \cup \{0\} \]
Primero calcularemos el radio de convergencia que nos ofrecerá información importante sobre la serie de potencias, procedemos:
Aplicando el criterio de la raíz, que nos dice que si el límite de \( \frac{\left |{a_{n+1}}\right |}{\left |{a_n}\right |} \) converge a \( L \) entonces el límite de \( \sqrt[n]{\left |{a_n}\right |} \) convergerá a lo mismo.
\[ \frac{\left |{a_{n+1}}\right |}{\left |{a_n}\right |}=\frac{\log(n+2)}{\log(n+3)} \]
Tomando límite, tenemos: \[ \lim_{n\to \infty}\frac{\log(n+2)}{\log(n+3)}\stackrel{L'H}{=} \lim_{n\to \infty} \frac{n+3}{n+2}=1 \Longrightarrow \lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{\left |{a_n}\right |}=1 \]
Por tanto, tenemos que el radio de convergencia \( R=1 \) y sabemos que la serie \( \displaystyle \sum_{n\geq 0} \frac{x^n}{\log(n+2)} \):
- Converge absolutamente en \( ]-1,1[ \).
- Converge uniformemente en cada compacto \( K \subset ]-1,1[ \).
- No converge en ningún punto de \( \mathbb{R} \ \setminus \ [-1,1] \)
Nos faltaría ver si la serie converge en los puntos \( 1 \) y \( -1 \).
No sé como decir que en 1 diverge, ya que el criterio del cociente (que es el que podría aplicar) me da 1 y con eso no puedo sacar conclusiones.
También tendría que decir si la serie converge uniformemente en -1 y 1, pero no sé como hacerlo. Quizás a partir de saber que no converge absolutamente?
Gracias por su ayuda.
