Autor Tema: Existencia de matriz fundamental.

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31 Marzo, 2021, 09:58 pm
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S.S

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Hola a todos tengo lo siguiente.

Si \( A(t) \) es continua en \( [-a_{0},a_{0}] \), entonces existe un \( a \) positivo tal que el problema de valor inicial \( \Phi^{\prime}=A(t)\Phi  \) , \( \Phi(0)=I \) tiene única matriz fundamental solución \( \Phi \) en [-a,a].
 
La sugerencia del libro fue: Defina \( \Phi_{0}(t)=I \) y \( \Phi(t)_{k+1}=I+ \displaystyle\int_{0}^{t}A(s)\Phi_{k}(s)ds \) y use el hecho de que la función \( A(t) \) satisface \( \left\|{A(t)}\right\|\leq{M_{0}} \) en \( [-a_{0},a_{0}] \) para probar que la sucesión \( \{\Phi_{k}(t)\}_{k \geq{0}} \) converge a \( \Phi(t) \) en algún intervalo \( [-a,a] \) con \( a<\frac{1}{M_{0}}, a\leq{a_{0}} \).

Mi intento fue utilizar la prueba del teorema de existencia y unicidad e intentar probar lo siguiente: Si \( a\leq{a_{0}} \) y \( \Phi_{k}: [-a,a]\rightarrow{\mathbb{R}^n} \), entonces \( \left |{\Phi_{k}(t) - I}\right | < 1 \), siempre que \( a<\frac{1}{M_{0}} \). Por inducción sobre \( k \):
Para \( k = 0 \) se tiene.
Si se tiene para \( k \), entonces para \( k+1 \).  \(  \left\|{\Phi_{k+1}(t) - I}\right\| \leq{\displaystyle\int_{0}^{t} \left\|{A(t)\Phi_{k}(t)}\right\|} \).
Aquí no puedo seguir ya que no sé si deba, ya sea \( \displaystyle\int_{0}^{t} \left\|{A(t)\Phi_{k}(t)}\right\| \leq{M_{0}a} \) en cuyo caso ya estaría probada la propiedad o deba hacer \( \displaystyle\int_{0}^{t} \left\|{A(t)\Phi_{k}(t)}\right\| \leq{M_{0}\left\|{\Phi_{k}(t)}\right\|} \) en cuyo caso no sabría que hacer.

Otra pregunta sería: ¿Esta bien el intento o debo tomar otro camino?

Gracias.

06 Abril, 2021, 12:13 am
Respuesta #1

S.S

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Hola a todos, modifique el intento a ver si sale.

Sea \( M_{0}= \left\|{A(t)}\right\| \), por inducción se puede probar que la funciones \( \Phi_{k}(t) \) son continuas.  Ahora como \( \Phi_{1}(0)= I \), entonces para \( \epsilon = 1 \) se tiene que si \( \left |{t}\right |<\delta \) se tiene que \( \left\|{\Phi_{1}(0)- I}\right\|<1 \) de esto se tiene que \( a<\frac{1}{M_{0}} \).

Ahora por inducción se puede probar que \( \left\|{\Phi_{k+1}(t)-\Phi_{k}(t)}\right\|\leq{\frac{K^{i}}{i!}}\left |{t}\right |^{i} \).

Espero puedan ayudarme. Gracias.