Autor Tema: Relación norma Bounded-Lipschitz y norma en espacios de Lebesgue

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31 Marzo, 2021, 12:11 pm
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mejopa

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En la teoría de la medida es usual  definir la norma Bounded-Lipschitz de una medida \( \mu\ \textrm{ en } C_b(\mathbb{R}^n)^\prime \) como
\( \|\mu\|_{BL}=\sup\{\mu(\phi):\|\phi\|_\infty+\|\nabla\phi\|_\infty\leq1\}.
 \)
Como caso particular  podemos considerar \( \mu_f(\phi)=\displaystyle\int_{\mathbb{R}^n}f(x)\phi(x)dx \), donde \( f \) es suficientemente regular.
Me preguntaba si existe alguna relación entre \( \|\mu_f\|_{BL} \) y alguna otra norma común de \( f \). Por ejemplo, no es difícil observar que \( \|\mu_f\|_{BL}\leq\|f\|_{L^1} \). Pero:

 1. ¿Puede convertirse en una igualdad?
 2. ¿Existen otras desigualdades similares?