Autor Tema: ¿\(\sum a_nx^n\) converge en \(x=4\Rightarrow\) diverge en \(x=2\)?

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03 Marzo, 2021, 10:58 pm
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Astor

  • $$\Large \color{#6a84c0}\pi$$
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\( \displaystyle\sum a_nx^n \) converge cuando \( x=4 \); entonces diverge cuando \( x=2 \).

¿Es verdadero, falso, o no puedo asegurar nada?.

Cualquier ayuda se agradece.

Mensaje corregido desde la administración.


04 Marzo, 2021, 12:27 am
Respuesta #1

delmar

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Hola

Es conveniente que se digite el enunciado del problema, son reglas del foro.

Respecto al problema existe un teorema que dice que si la serie de potencias converge para un punto \( x_1 \)  entonces converge absolutamente \( \forall{x} \ / \ \left |{x}\right |<\left |{x_1}\right | \) en este caso \( x_1=4 \) saca tus conclusiones sobre la veracidad de la afirmación.


Saludos

04 Marzo, 2021, 09:20 am
Respuesta #2

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

\( \displaystyle\sum a_nx^n \) converge cuando \( x=4 \); entonces diverge cuando \( x=2 \).

¿Es verdadero, falso, o no puedo asegurar nada?.

Cualquier ayuda se agradece.

Mensaje corregido desde la administración.

Astor: hemos corregido tu mensaje desde la administración. Habías escrito todas las letras en mayúscula y usado una imagen adjunta, en lugar de teclear directamente  el texto de  tu problema. Todo ello contraviene lo que ponen las reglas del foro.

Ya te advertimos de esto en mensajes previos.

Por favor: en lo sucesivo procura seguir las reglas del foro.

Saludos.


04 Marzo, 2021, 11:35 am
Respuesta #3

Fernando Revilla

  • Es más fácil engañar a alguien que convencerle de que ha sido engañado.
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\( \displaystyle\sum a_nx^n \) converge cuando \( x=4 \); entonces diverge cuando \( x=2 \). ¿Es verdadero, falso, o no puedo asegurar nada?.

La respuesta de delmar resuelve el problema. No obstante doy una versión autocontenida por si tal vez no hubiérais visto series de potencias. Si \( \displaystyle\sum a_nx_1^n \) es convergente, \( a_nx_1^n\to 0 \) cuando \( n\to +\infty \). Entonces, existe \( K>0 \) tal que \( \left|a_nx_1^n\right|\leq K \) para todo \( n \). Si \( \left |{x}\right |<\left |{x_1}\right | \):

        \( \displaystyle\left|a_nx^n\right|=\left|a_nx_1^n\right|\left|\frac{x}{x_1}\right|^n\leq K\left|\frac{x}{x_1}\right|^n. \)

La serie de término general \( \left|x/x_1\right|^n \) es geométrica de razón menor que \( 1 \), luego es convergente. Por el teorema del álgebra de series también lo es la de término general \( K\left|x/x_1\right|^n \) y por el criterio de la mayorante, también lo es \( \displaystyle\sum\left|a_nx^n\right| \) y como consecuencia, \( \displaystyle\sum a_nx^n \) es convergente.