Autor Tema: Problema de Cálculo Diferencial

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08 Febrero, 2021, 11:11 pm
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Mathoflemon

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Qué tal, buen día, necesito ayuda con este último ejercicio, gracias adelantadas.

Sean \( x(u,v)=((a + r \cos u)\cos v, (a + r \cos u)\sen v, r \sen u) \) una función.

1. Encuentre el dominio e imagen de \( x \).
2. Encuentre y demuestre donde es continua la función.
3. Encuentre y demuestre en donde la función \( x \) es diferenciable.
4. Demuestre que la función es una superficie.
5. ¿En qué región se puede hablar del teorema de función implícita?
6. ¿Cuál es la imagen de x?

11 Febrero, 2021, 12:43 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Qué tal, buen día, necesito ayuda con este último ejercicio, gracias adelantadas.

Sean \( x(u,v)=((a + r \cos u)\cos v, (a + r \cos u)\sen v, r \sen u) \) una función.

Una vez más tienes que indicar que has intentado y tus dudas concretas.

Algunas indicaciones.

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1. Encuentre el dominio e imagen de \( x \).

La función está definida para cualesquiera valores de \( u,v \).

La imagen es un toro de radio mayor \( a \) y radio menor \( r \), siempre que \( a>r>0 \).

Citar
2. Encuentre y demuestre donde es continua la función.
3. Encuentre y demuestre en donde la función \( x \) es diferenciable.

La función es suma, producto, composición de funciones diferenciables.

Citar
4. Demuestre que la función es una superficie.

No está muy bien redactado; quizá debería decir que la función define una superficie o que parametriza una superficie. No sé muy bien que definición y resultados sobre superficies conoces.

En principio basta que notes que la función es diferenciable en todo punto con diferencial de rango máximo.

Citar
5. ¿En qué región se puede hablar del teorema de función implícita?

No está muy claro de en que sentido quieres aplicar el teorema de la función implícita. En principio éste se aplica para una función de \( \Bbb R^n \) a \( \Bbb R^m \) con \( n>m \); pero tu tienes una función de \( \Bbb R^2 \) a \( \Bbb R^3 \).

Saludos.