Hola Carlos
De acuerdo con la definición conjuntista estándar, una aplicación \( f: A\longrightarrow B \) no es más que un subconjunto \( f\subset A\times B \) tal que para cada \( a\in A \) existe un único \( b\in B \) tal que \( (a, b)\in f \).
De acuerdo con la definición de función.
Si aplicamos esto a la identidad en un conjunto \( X \) y a la inclusión en un conjunto \( Y \), como plantea JVC, lo cierto es que son lo mismo, pues ambas son el conjunto:
\( 1_X=\{(x, x)\mid x\in X\} \).
¿Podrías demostrar que ambos conjuntos son iguales solamente aplicando la definición y algunas leyes lógicas o reglas de inferencia? ¿Cómo llegas a que ambos son \( \{(x, x)\mid x\in X\} \)?
Por definición: \( id: X\longrightarrow X \) viene dada por \( id(x)= x \), y la inclusión \( i: X\longrightarrow Y \) viene dada por \( i(x)=x \). Entonces, si \( z\in id \), tenemos que \( z\in X\times X \), luego existen \( x,x'\in X \) tales que \( z = (x, x') \), pero por definición de \( id(x) \), tiene que ser \( (x, id(x))\in f \), luego por la unicidad de la definición de función, \( x' = id(x) = x \), luego \( z = (x, x) \).
Por la definición de \( i(x) \), tenemos que \( (x, i(x))\in i \), y por definición de \( i \), es \( i(x)= x \), luego \( z=(x, x)\in i \), y así tienes probado que \( id\subset i \).
La otra inclusión se prueba exactamente igual.
