[Squee]

Hola.

El ejercicio que no me sale es el siguiente:

Dadas categorias \( B,C \) y la categoría \( B^{2} \), demostrar que cada functor \( H:C \rightarrow B^{2} \) determina dos functores \( S,T : C \rightarrow B \) y una transformación natural \(  \tau : S \overset{\bullet}{\longrightarrow} T \), y mostrar que la asignación \( H \longmapsto \left\langle S,T, \tau \right\rangle  \) es una biyección.

Notación:
La categoría \( 2 \) es la categoría con dos objetos, y una única flecha no identidad.
La categoría \( Y^{X} \) es la categoría cuyos objetos son functores de \( X \) a \( Y \) y sus flechas transformaciones naturales entre estos)

Intento:

Defino:
\( S(c)=H(c)(0) \) y \( T(c)=H(c)(1) \).

Estoy tentando a definir las flechas como \( S(f)=H(f)(0) \) y \( T(f)=H(f)(1) \), pero no estoy seguro si esta bien.

Se que si \( f:c \rightarrow c' \), entonces \( H(f) : H(c) \rightarrow H(c') \). Y se que las flechas de \( B^{2} \) son transformaciones naturales entre elementos de este.

No logro ver bien como actúa el morfismo natural \( H(f) \) sobre los functores de la imagen.

Logro ver que todo \( H  \) determina una \( 3- \)upla, pero no al revés.

Gracias por vuestro tiempo.

[Squee]

Dado \( f:c \rightarrow c' \) una flecha de \( C \), \( H(f) \) es una transformación natural entre \( H(c) \) y \( H(c') \).
Primer se puede comprobar con las flechas identidad. Además, con la única flecha no identidad de \( 2 \) se tiene
\( H(c')(2)H(f)(0) = H(f)(1) H(c)(2) \)
Esto se cumple para cada \( c,c' \in C \) y \( f : c \rightarrow c' \) en \( C \).
Necesitaria alguna forma de relacionar \( H(f)(0) \) y \( H(f)(1) \) con un morfismo \( \tau (c) : Sc \rightarrow Tc \)

[geómetracat]

Antes de meterse a hacer el ejercicio, vale la pena dedicar un rato a reflexionar sobre la categoría \( B^2 \).

Primero, un objeto en \( Obj(B^2) \) es un funtor \( b:2 \rightarrow B \). Un tal funtor viene determinado por la imagen de la única flecha de la categoría \( 2 \). Es decir, un objeto de \( B^2 \) es exactamente lo mismo que dos objetos de \( B \) y un morfismo entre ellos, \( f:b \rightarrow b' \).

Ahora a por los morfismos de \( B^2 \). Un morfismo de \( B^2 \) es una transformación natural \( \tau \) entre funtores \( F,G:2 \rightarrow B \). Como antes, identificamos estos vectores con morfismos en \( B \), \( f:b \rightarrow b' \), \( g:a \rightarrow a' \). Entonces, la transformación natural es lo mismo que dar un par de morfismos en \( B \), \( \tau_0:b \rightarrow a \), \( \tau_1:b' \rightarrow a' \) tal que el cuadrado conmuta, es decir, \( g \circ \tau_0 = \tau_1 \circ g \).

Tus definiciones parece que están bien. Piensa un poco con lo que te he dicho a ver si te ayuda. Si no, pregunta de nuevo.

[Squee]

¿no seria asi?
\( g \tau (0) =\tau (1) f \)

Había llegado a esta ecuación antes y no conseguía ninguna relación entre \( \pi_0 \) y \( \pi_1 \) asi que desisti.
Ahora, habiéndolo pensado mejor:

Llamando \( \tau (0)=f \) y \( \tau (1)=g \), se tiene que esta es una transformación natural entre \( f \) y \( g \).

Por otro lado, dado \( h:c \rightarrow c' \), se tiene que \( H(h)(0) \) es una transformación natural entre \( H(c) \) y \( H(c') \). Por lo que se cumple

 \(  \xymatrix{H(c)(0) \ar[r]^{H(h)(0)} \ar[d]_{H(c)(2)}& H(c')(0) \ar[d]^{H(c')(2)} \\ H(c')(1) \ar[r]_{H(h)(1)} & H(c')(1)  } \)

Reemplazando \( H \) por las funciones que definimos, tenemos

 \(  \xymatrix{S(c) \ar[r]^{S(h)} \ar[d]_{H(c)(2)}& S(c') \ar[d]^{H(c')(2)} \\ S(c') \ar[r]_{T(h)} & T(c')  } \)

Este diagrama es lo mismo (espejandoló \( 45° \)) que

 \(  \xymatrix{S(c) \ar[r]^{H(c)(2)} \ar[d]_{S(h)}& S(c') \ar[d]^{T(h)} \\ S(c') \ar[r]_{H(c')(2)} & T(c')  } \)

Por ende \( H(-)(2) \) es una transformación natural entre \( S \) y \( T \).

Ahora, la vuelta.

Dados dos functores \( S,T:C \rightarrow B \) y la transformación natural \( \tau : S \overset{\bullet}{\longrightarrow} T \), podemos definir la función objeto de \( H:C \rightarrow B^{2} \) simplemente como la función de \( 2 \) en \( B \) que le asigna \( S(c) \) a \( 0 \) y \( T(c) \) a \( 1 \). Llamamos \( H(f)(0)=S(f), H(f)(1) = T(f) \)

Finalmente, definimos \( H(c)(2) \) lo definimos como \( \tau (c) \).

No debería ser muy difícil ver que puedo hacer el recorrido inverso por los diagramas conmutativos de recién.