Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - smc

Páginas: [1] 2
1
Métodos Numéricos / Convergencia a soluciones
« en: 31 Mayo, 2021, 12:11 pm »
Buenas! Me piden hallar el tipo de convergencia de una función a partir de \( \Delta x_k \), \( \Delta x_k = x_{k+1}-x_k \). En clase me han dicho que si \( \frac{|e_{n+1}|}{|e_n|^p}\rightarrow c \) entonces tambíen ocurre \( \frac{\Delta x_{n+1}}{\Delta x_{n}}\rightarrow c \), donde \( |x_{n+1}-\alpha| \leq c\cdot|x_n-\alpha|^p \), es decir, la sucesión \( \{x_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) converge a \( \alpha \) con orden de convergencia almenos \( p \). Me dan estas \( x_k \): \[  x_0 = -1.655871, x_1 = -2.253482, x_2=-2.082442, x_3=-2.065060, x_4= -2.064877 \], donde en este último supuestamente ha convergido.

Agradecería cualquier tipo de ayuda o indicación! Gracias!

2
Cálculo 1 variable / Re: Cero de una función
« en: 29 Mayo, 2021, 08:11 pm »
Pero el 0 pertenece al dominio? quedaría una indeterminación del tipo \( 0^0 \)

Ahora intentaré sacar algo de lo que me has dicho, gracias!

3
Cálculo 1 variable / Cero de una función
« en: 29 Mayo, 2021, 07:25 pm »
Buenas tardes, me piden que dada la función \( f(x)=(\log(1+x))^x-(1-2x) \) localice todos sus ceros. Bien lo que yo hago es razonar que el dominio de la función es \( (0, +\infty) \) dado que \( (\log(1+x))^x \) comparte su dominio. Entonces, cuando me dispongo a encontrar el cero encuentro que \( (\log(1+x))^x = 1-2x \), pero \(  (\log(1+x))^x > 0 ~\forall x> 0 \) y \( 1-2x > 0 \iff x < 1/2 \). Así pues se que existe almenos un cero en el intervalo \( (0, \frac{1}{2}) \).

Mi problema viene cuando trato de ver la unicidad del cero en este intervalo, ya que haciendo la derivada para ver si es creciente/decreciente se me hace un lío muy grande. Si tuvierais alguna idea que proponer lo  agradecería mucho!

4
Topología Algebraica / Re: Superficies homeomorfas
« en: 18 Mayo, 2021, 01:06 pm »
Ahora me doy cuenta de que estaba mal. Lo he cambiado y voy a intentar resolverlo gracias por las pistas!

5
Topología Algebraica / Sobre homotopia.
« en: 18 Mayo, 2021, 12:39 pm »
Sea \( f:S^1 \rightarrow S^n \) la aplicación contínua definida por \( f(x,y)=(x,y, 0, ..., 0) \) donde \( (x,y) \in S^1 \subset \mathbb{R}^2 \) y n>1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es siempre cierta?
a. Ninguna de las demás respuestas es correcta.
b. f es homótopa a una aplicación constante si y solo si \( n \) es impar.
c. f es homótopa a una aplicación constante si y solo si n = 2.
d. f nunca es homótopa a una aplicación constante.

6
Topología Algebraica / Sobre grupos fundamentales.
« en: 18 Mayo, 2021, 12:33 pm »
Sea \( X \) un espacio topológico y \( x_0, x_1 \in X \). Si \( \pi_1 \) denota el grupo fundamental, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre cierta?
a. Si existe una aplicación contínua \( \gamma:[0,1] \rightarrow X \) tal que \( \gamma(0) = x_0 \) y \( \gamma(1) = x_1 \), entonces \( \pi_1(X, x_0) \cong  \pi_1(X, x_1) \)
b. Ninguna de las demás respuestas es correcta.
c. Si los puntos \( x_0 \) e \( y_0  \) pertenecen a componentes arco-conexas distintas de X, entonces \( \pi_1(X, x_0) \not\cong  \pi_1(X, x_1) \).
d. Si existe un abierto \( A \subset X \) tal que  \( x_0, x_1 \in A \), entonces \( \pi_1(X, x_0) \cong  \pi_1(X, x_1) \).

7
Topología Algebraica / Sobre superficies
« en: 18 Mayo, 2021, 12:26 pm »
Sean \( X, Y \) y \( Z \) tres superficies compactas y conexas tales que \( X \) no es homeomorfa a \( Y \) y \( \pi_1(Y) \cong \pi_1(Z)  \), donde \( \pi_1 \) denota el grupo fundamental. Si denotamos por \( \zeta(-) \) la característica de Euler, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre cierta?
a. Si \( \zeta(X) = \zeta(Y) \) y  \( X \) es orientable, entonces \( Y \) es no orientable.
b. Si \( \zeta(X) = \zeta(Y) \) y, entonces \( X \) e \( Y \) son orientables.
c.  \( X \) e \( Y \) son las dos orientables o las dos no orientables, y \( \zeta(X) \neq \zeta(Y) \).
d. Si \( X, Y, Z \) son orientables, entonces \( \zeta(X) = \zeta(Y) = \zeta(Z) \).

8
Topología Algebraica / Superficies homeomorfas
« en: 18 Mayo, 2021, 12:14 pm »
Sea la palabra \( A=b^{-1}abfefea^{-1}cdggc^{-1}d^{-1} \) y sea \( M \) la superficie poligonal determinada por la palabra \( A \). Si denotamos por \( n\mathbb{T} \) la suma conexa de n toros y por \( m\mathbb{P} \) la suma conexa de m planos proyectivos, entonces la superficie \( M \) es homeomorfa a:
a. Ninguna de las otras respuetsas es correcta
b. \( \mathbb{T}\#4\mathbb{P} \)
c. \( 4\mathbb{P} \)
d. \( 3\mathbb{T}\#\mathbb{P} \)

9
Topología Algebraica / Grupo fundamental
« en: 18 Mayo, 2021, 12:09 pm »
Sea \( X \) el espacio topológico obtenido como una unión de dos circunferencias \( S^1 \) y una esfera \( S^2 \). Sea \( x_0 \in S^2 \). El grupo fundamental \( \pi_1(X, x_0) \) es isomorfo a:
a. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta
b. \( \mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\mathbb{Z} \)
c. \( \mathbb{Z}*\mathbb{Z} \)
d. El grupo trivial

10
Ecuaciones diferenciales / Ecuacion diferencial lineal homogenea
« en: 16 Abril, 2021, 09:18 am »
Hola buenas, se me ha planteado el siguiente problema y estoy teniendo algo de dificultad para hacerlo. Si alguien me echara una mano lo agradecería!

Sea \( A(t) \in M_n(\mathbb{R}) \) contínua en \( [0,1] \) y consideramos el sistema lineal \[ \dot{x}=A(t)x \].
Sea \( M(t) \) la matriz fundamental principal de esta. Suponemos que su única solución que cumple \( \varphi(0) = \varphi(1) \) es la solución \( \varphi(t) \equiv 0 \) (es decir, \( \varphi(0) = \varphi(1) = x \) si, y solo si, \( x=0 \))

a) Probad que \( det(M(1) -Id) \neq 0 \) (Indicación: Toda solución de la edo se escribe como \( \varphi(t)=M(t)x \) para alguna \( x\in \mathbb{R}^n \))

b) Sea \( b(t) \in \mathbb{R}^n \) contínua en \( [0,1] \). Consideramos el sistema no homogéneo asociado \( \dot{x}=A(t)x+b(t) \). Demostrad que existe una única solución \( \hat{\psi}(0) = \hat{\psi}(1) \). (Indicación: Para la existencia haced servir la fórmula de variación de las constantes para expresar una solución cualquiera de la edo por \( t_0=0 \); es decir, \( \psi(t;0,x) \), y determinad \( \hat{x} \) cumpliendo \( \psi(0;0,\hat{x}) = \psi(1;0,\hat{x}) \); así, \( \hat{\psi}(t) = \psi(t;0,\hat{x}) \))

c) Demostrad que existe una constante \( k > 0 \) (independiente de la función \( b(t) \)) tal que se cumple \( \left\|{f}\right\|=max_{t\in [0,1]} \left\|{f(t)}\right\| \) para toda \( f(t) \in \mathbb{R}^n \) (Indicación: Haced servir la ecuación de Volterra, el Lemma de Gronwall y el apartado b) ).


Gracias por vuestra ayuda!!

11
Topología Algebraica / Re: retracto de deformación
« en: 22 Enero, 2021, 02:12 pm »
Perdón me había equivacado ya lo he corregido

12
Topología Algebraica / Re: Sobre homotopias
« en: 22 Enero, 2021, 01:32 pm »
No se cual es el grupo fundamental de \( S^4 \), puede que sea \( \frac{\mathbb{Z}}{4\mathbb{Z}} \)?

Respecto a la tercera pregunta, no se a qué figura ocho te refieres

Gracias, como podrás comprobar voy un poco perdido

13
Topología Algebraica / Sobre homotopías
« en: 22 Enero, 2021, 12:58 pm »
No entiendo el siguiente ejercicio. Si me pudierais ayudar sería de gran ayuda.

Sea \( X \) un espacio topológico, y sean \( f: X\longrightarrow \mathbb{R}^n, g:\mathbb{R}^n\longrightarrow X \), aplicaciones contínuas. Probar que la composición \( g \circ f \) es homótopa a constante. Probar que si \( s:S^1\longrightarrow S^4 \) y \( t: S^4\longrightarrow S^1 \) son aplicaciones contínuas, la composición \( t\circ s \) es homótopa a constante. Dar un ejemplo de un espacio \( Y\neq S^1 \), y dos aplicaciones contínuas \( u: S^1\longrightarrow Y, v:Y\longrightarrow S^1 \) tales que la composición \( v\circ u \) no sea homótopa a constante.

14
Topología Algebraica / Sobre curvas
« en: 22 Enero, 2021, 12:38 pm »
Buenos días. Tengo que resolver el siguiente ejercicio y se me está haciendo muy difícil. Si alguien me lo supiera resolver se lo agradedcería muchísimo.

Sea \( f: \{z\in\mathbb{C}: \|z\|<2\}\longrightarrow\mathbb{C} \) una aplicación contínua tal que \( \|f(z)\|<1, \forall z \), y sean \( \alpha\beta:[0,1]\longrightarrow\mathbb{C} \) las curvas definidas por \( \alpha(t) = 7e^{12\pi it}, \beta(t) = \alpha(t)+f(e^{2\pi it}) \)

i) Para \( p = 2 \) y para \( p = 12i \), determinar el grado de la curva cerrada \( \rho:[0,1]\longrightarrow S^1 \) definida por \( \rho(t) = \frac{\alpha(t) -p}{\|\alpha(t) -p\|}, t\in[0,1] \)

y el grado de la curva cerrada \( \sigma:[0,1]\longrightarrow S^1 \) definida por \( \sigma(t) = \frac{\beta(t) -p}{\|\beta(t) -p\|}, t\in[0,1] \)

ii) Probar que la ecuación \( 7z^6+\frac{sin(\|z\|)}{z^3-12}=2 \) tiene solución. Dar un ejemplo de una función contínua \( g:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C} \) tal que la ecuación \( 7z^6+\frac{g(z)}{z^3-12}=2 \) no tenga solución.

15
Topología Algebraica / retracto de deformación
« en: 22 Enero, 2021, 12:21 pm »
Hola, se me plantea el siguiente ejercicio:

Consideremos el espacio topológico \( X \subseteq\mathbb{R}^3 \) definido por \( X = \{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3: x^2+y^2+z^2 =1, x\geq{0}, y\geq{0},z\geq{0}\}\cup\{[0,1]\times\{0\}\times\{0\}\}\cup\{\{0\}\times[0,1]\times\{0\}\}\cup\{\{0\}\times\{0\}\times[0,1]\} \)

i) Determinar si \( X \) admite un grafo como retracto de deformación. Calcular el grupo fundamental de \( X \). ¿Es \( X \) del mismo tipo de homotopía que \( \mathbb{R}^2 \)?

ii) Determinar el conjunto \( Y \) de \( X \) formado por los puntos \( x \in X \), tales que \( X \) es una superficie en un entorno de \( x \). Probar que si \( f: X\longrightarrow X \) es un homeomorfismo, entonces \( f \) tiene como mínimo dos puntos fijos.

Gracias de antemano :)

16
Estructuras algebraicas / Re: Galois
« en: 12 Diciembre, 2020, 10:04 am »
Gracias, me ha sido de gran ayuda para el a) y el b). El c) lo sigo intentando sin resultados, si pudieras darme alguna indicación más lo agradeceria

17
Estructuras algebraicas / Galois
« en: 11 Diciembre, 2020, 11:27 pm »
Sea \( p \) un número primo impar y sea \( \zeta \) una raíz p-ésima primitiva de 1 en \( \mathbb{C} \).

a) Demostrar que \( [\mathbb{Q}(\zeta):\mathbb{Q}]=p-1 \) y que \( Gal(\mathbb{Q}(\zeta)|\mathbb{Q}) \) es cíclico.
b) Demostrar que, para cada divisor \( d \) de \( p-1 \), existe un cuerpo \( L_d\subset\mathbb{Q}(\zeta) \) tal que \( [L_d:\mathbb{Q}] = d \)
c) Sea \( \sigma \) un generador de \( Gal(\mathbb{Q}(\zeta)|\mathbb{Q}) \). Para  \( d \) divisor de \( p-1 \), ponemos

\( ~~~~~~~~~~\alpha_d := \sum_{k=1}^{(p-1)/d}{\sigma^{dk}(\zeta)} \)

\( ~~~~ \)Probar que \( L_d=\mathbb{Q}(\alpha_d) \)

18
Sea \( S \) la superficie determinada por la palabra \( A = a b^{-1} f c^{-1} g h^{-1} a^{-1} d b e d^{-1} h c f e^{-1} g  \).
Dar una presentación del grupo fundamental de \( S \).

19
Topología (general) / Índice de una curva
« en: 11 Diciembre, 2020, 03:08 pm »
Calcular el índice de la curva cerrada \( \alpha: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}^2 \), \(  \alpha(t) = e^{4\pi i t} + \frac{1}{2}e^{2\pi i t} + 1, 0 \leq t \leq 1 \) con respecto a los puntos \( p = 1 \) y \(  q = 2 \)

20
Topología (general) / Homótopas
« en: 11 Diciembre, 2020, 03:03 pm »
Sea \( X \) un espacio topológico y sean \( f, g: X \longrightarrow S^n \) dos aplicaciones contínuas tales que \( f(x) \neq – g(x) \), para todo \( x\in X \). Probar que \( f \) es homótopa a \( g \).

Páginas: [1] 2