Rincón Matemático

Revista, Técnicas, Cursos, Problemas => La revista del foro => Comentarios => Mensaje iniciado por: Carlos Ivorra en 20 Octubre, 2013, 12:03 am

Título: Comentarios a "Extensiones finitamente aditivas de la medida de Lebesgue".
Publicado por: Carlos Ivorra en 20 Octubre, 2013, 12:03 am
En este hilo contestaré a todas las preguntas y comentarios que surjan en relación con el artículo

Extensiones finitamente aditivas de la medida de Lebesgue. (http://rinconmatematico.com/foros/index.php?topic=70798.0)
Título: Re: Comentarios a "Extensiones finitamente aditivas de la medida de Lebesgue".
Publicado por: argentinator en 20 Octubre, 2013, 12:35 am
Coincido con tu apreciación de que el tema del artículo es interesante.
Bienvenido sea.

Título: Re: Comentarios a "Extensiones finitamente aditivas de la medida de Lebesgue".
Publicado por: jbgg en 20 Octubre, 2013, 10:23 pm
Antes de exponer mi duda, agradecer el tiempo que dedicas en escribir estas cosas.

Mi duda viene de la siguiente afirmación

La relación exacta entre los conjuntos medibles Lebesgue y los conjuntos de Borel es que un conjunto \( A \) es medible Lebesgue si y sólo si \( A=B\cup N \), donde \( B \) es un conjunto de Borel y \( N\subset C \), para otro conjunto de Borel \( C \) de medida nula.

Y mi razonamiento es el siguiente, los conjuntos de Borel forman un álgebra, así que la unión de dos de ellos es un conjunto de Borel, entonces si cada medible Lebesgue se escribe como unión de dos conjuntos de Borel, todo conjunto medible Lebesgue es de Borel. Pero por lo siguiente

Sin embargo, sucede que \( \mathcal M_n \) es estrictamente mayor que \( \mathcal B_n \). De hecho tiene una propiedad que no cumple el álgebra de Borel:

Si \( A \) es un conjunto medible Lebesgue con medida \( 0 \) y \( B\subset A \), entonces \( B \) es medible Lebesgue (obviamente de medida \( 0 \)).

no puede ocurrir.

¿puede ser que en la afirmación de la equivalencia de conjunto medible Lebesgue, el conjunto de medida nula no tiene porqué ser de Borel?

Gracias.

Edito: fallo mio. Acabo de leer bien la proposición y el conjunto \( N \) no es de Borel, sino un subconjunto de un conjunto de medida nula de Borel.

He mezclado la proposición que vale para medibles Lebesgue y no para Borel, pensando que sí vale para estos últimos. Al tenerlo delante (por citarlo) me he dado cuenta.
Título: Re: Comentarios a "Extensiones finitamente aditivas de la medida de Lebesgue".
Publicado por: Carlos Ivorra en 20 Octubre, 2013, 10:55 pm
Te estaba respondiendo sobre la marcha, pero ya he visto que te has respondido tú solo.