Rincón Matemático
Matemática => Análisis Matemático => Cálculo Avanzado (espacios métricos - convergencia uniforme - Integral de Stieltjes) => Mensaje iniciado por: YeffGC en 15 Agosto, 2020, 07:43 am
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hola alguien tiene sugerias o ayudarme como proceder con este problema :
Estudie la convergencia puntual y uniforme de la serie
\( \sum f_n(x) \) donde
\( f_n(x)=\displaystyle\frac{n^{n+1}}{n!}x^n e^{-nx} \) para \( x\geq{ 0} \)
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Hola
hola alguien tiene sugerias o ayudarme como proceder con este problema :
Estudie la convergencia puntual y uniforme de la serie
\( \sum f_n(x) \) donde
\( f_n(x)=\displaystyle\frac{n^{n+1}}{n!}x^n e^{-nx} \) para \( x\geq{ 0} \)
Prueba a usar criterio de Weierstrass , teniendo en cuenta que $$x^n e^{-nx}<\left({\dfrac{1}{2}}\right)^n \, \forall{}x\geq{}0$$, a ver si te ayuda.
Saludos.
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Hola. Hay que ser más fino con las cotas porque \( \displaystyle\sum_n \frac{n^{n+1}}{n!\, 2^n} \) diverge.
Un camino es usar primero el criterio de la razón para demostrar que la serie converge para todo \( x\neq 1 \). Ahora, como
\( \displaystyle \frac{n^n}{e^{n-1}} \leqslant n! \leqslant \dfrac{n^{n+1}}{e^{n-1}}, \)
se puede probar que \( \sum f_n(1) \) diverge porque \( \lim_n f_n(1)\neq 0 \).
Para cualquier \( \varepsilon >0 \), puedes encontrar un \( \alpha<e^{-1} \) de tal forma que sobre el conjunto \( [0,1-\varepsilon]\cup [1+\varepsilon,\infty) \) se tiene
\( f_n(x)< \dfrac{n^{n+1}}{n!}\alpha^n, \)
y ahí puedes aplicar el teorema de Weierstrass, por lo que hay convergencia uniforme en ese conjunto. (Esto sale de que el máximo de la función \( xe^{-x} \) es \( e^{-1} \) y se alcanza precisamente en x=1.) Hay que hacer algo más para ver que no se tiene convergencia uniforme en \( [0,1)\cup (1,\infty), \) que sospecho que es lo que pasa.