[aleesokorov]

Buenas buenas! Tengo inconvenientes a la hora de resolver este ejercicio:
Hallar los extremos relativos condicionados de \( f \):
\( \displaystyle f(x,y,z)=(x-y)^2 \) en \( x^2 + y^2 + z^2 =1 ; z=2x-y \)
Consideré \( \mathcal{C}= \left\{{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} : x^2 + y^2 + z^2 -1 =0 , z-2x+y=0\right\}  \)

$$g_1 (x,y,z)= x^2 + y^2 + z^2 -1$$ y $$g_2(x,y,z)=z-2x+y$$

Tengo que $$f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} , f \in C^1$$ y $$g_1 , g_2 : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} , g_1 , g_2 \in C^1$$

$$\displaystyle  \nabla f(x,y,z)=(2(x-y),-2(x-y),0) ; \nabla g_1 (x,y,z)=(2x,2y,2z) ; \nabla g_2 (x,y,z)=(-2,1,1)$$

$$\nabla g_1 (x,y,z) = (0,0,0) \Longleftrightarrow (x,y,z)=(0,0,0) $$ pero como $$(0,0,0) \notin \mathcal{C}$$ entonces puedo aplicar las Hipótesis de Lagrange

 
 $$\displaystyle \begin{Bmatrix}\nabla f + \lambda \nabla g_1 + \mu \nabla g_2 =0 \\g_1=0\\g_2=0\end{Bmatrix} $$  (no sé cómo escribir solo un corchete, por eso me aparecen dos jajajaja)

$$ \begin{Bmatrix}2(x-y)+\lambda 2x - 2\mu=0\\-2(x-y) + \lambda 2y + \mu=0\\\lambda 2z + \mu=0\\x^2 + y^2 +z^2 -1=0\\z-2x+y=0\end{Bmatrix} $$

De los tres primeros términos traté de escalerizar para que me quedase compatibilidad según $$\lambda , \mu$$ y me quedó de la siguiente manera:

$$ \begin{Bmatrix}-2\mu + \lambda 2x + 2(x-y)=0\\2\lambda(2y+x) -2x(x-y)=0\\2(x-y)(2y+x)+2(x-y)(2z+x)=0\end{Bmatrix} $$

Y finalmente: $$4(x-y)(x+y+z)=0$$ sería mi ecuación según $$\lambda , \mu$$

Me gustaría saber si ese paso está bien, así luego vuelvo a mi sistema principal y solo tengo parámetros dependiendo de $$x,y,z$$ en un sistema que sería más fácil para hallar extremos.

Aguardo respuesta 

[Masacroso]

Debe estar bien porque me sale una ecuación equivalente, ya que si sumamos las tres primeras ecuaciones obtenemos una ecuación equivalente a \( \lambda (x+y+z)=0 \) y por tanto al menos uno de los factores es cero. Si \( \lambda =0 \) entonces la tercera ecuación nos deja \( \mu =0 \) de donde se sigue finalmente que \( x-y=0 \). Es decir: o bien \( x+y+z=0 \) o bien \( x-y=0 \), que es equivalente a la ecuación \( (x-y)(x+y+z)=0 \).

[aleesokorov]

Siii! Estaba bien al final, muchísimas gracias por la respuesta

[ani_pascual]

Hola:

...
 $$\displaystyle \begin{Bmatrix}\nabla f + \lambda \nabla g_1 + \mu \nabla g_2 =0 \\g_1=0\\g_2=0\end{Bmatrix} $$  (no sé cómo escribir solo un corchete, por eso me aparecen dos jajajaja)

Una arcaica  forma de conseguirlo    es la siguiente:
\( \left\{ \begin{array}{l}\nabla f + \lambda \nabla g_1 + \mu \nabla g_2 =0 \\g_1=0\\g_2=0\end{array}\right.  \) 
o 
\( \left\{ \begin{array}{c}\nabla f + \lambda \nabla g_1 + \mu \nabla g_2 =0 \\g_1=0\\g_2=0\end{array}\right.  \)
o también
\( \left\{ \begin{array}{r}\nabla f + \lambda \nabla g_1 + \mu \nabla g_2 =0 \\g_1=0\\g_2=0\end{array}\right.  \)
Puedes ver la fuente si citas el mensaje 
Saludos