Hola
Buenas tardes, necesito ayuda con el siguiente problema:
Indica razonadamente si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:
\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}\displaystyle f(x)=0 \)
\( \displaystyle\lim_{x \to{b}}\displaystyle g(x)=0 \)
\( \displaystyle\lim_{(x,y) \to (a,b)}\displaystyle\frac{(xy-ab)\cdot f(x)\cdot g(y)}{f(x)^2+g(y)^2}=0 \)
Tienes que:
\( (P\pm Q)^2\geq 0\quad \Rightarrow{}\quad P^2+Q^2\geq \mp 2PQ\quad \Rightarrow{}\quad \dfrac{|PQ|}{P^2+Q^2|}\leq \dfrac{1}{2} \)
Por tanto:
\( 0\leq \dfrac{|xy-ab||f(x)g(y)|}{f^2(x)+g^2(y)}\leq \dfrac{1}{2}|xy-ab| \)
y
tomando límites se deduce que \( \displaystyle\lim_{(x,y)\to (a,b)}{}\dfrac{|xy-ab||f(x)g(y)|}{f^2(x)+g^2(y)}=0 \).
Lo único que hace falta es que las funciones \( f^2(x)+g^2(y) \) no se anulen en un entorno del \( (a,b) \)fuera del propio punto para que el límite tenga sentido.
En el enunciado no has dejado 100% claro exactamente cuales son las hipótesis y cuales la tesis.
Para que el límite doble indicado sea cero no es necesario que los dos primeros límites se anulen.
Saludos.
