Hola, estoy estudiando cálculo en dos variables en mi primer año de carrera y me han surgido muuuuchas dudas, entre ellas esta es una que me inquieta bastante:
No entiendo por qué al hacer una integral doble con un cambio de variable hay que multiplicar por el determinante de la matriz jacobiana (en realidad tampoco lo entiendo en una variable). ¿Qué es esa matriz?¿Por qué se define así? ¿Qué es lo que representa? ¿Tiene alguna conexión con el álgebra? ¿Por qué el determinante?
Muchas gracias.
Las demostraciones del teorema de cambio de variable no son sencillas, al menos desde el punto de vista de teoría de la medida. Desde el punto de vista de geometría diferencial es algo más sencillo, aunque necesita de un estudio previo extenso sobre las bases de la geometría diferencial.
Pero si no sabes siquiera lo que representa una matriz entonces es aún más difícil de explicar. Lo verás a su debido tiempo, cuando tengas unas bases suficientes para poder comprender la demostración, que la tienes por ejemplo
aquí.
El teorema de cambio de variable en una variable es sencillo de demostrar, a diferencia del caso general, ya que es consecuencia del teorema fundamental del cálculo y la regla de la cadena. Una demostración la encuentras
aquí.
