[arkady-svidrigailov]

Buenas a todos. Les quería plantear algo que estuve pensando y sobre lo que me gustaría leer lo que piensan.

En cálculo vectorial uno se encuentra en $$\mathbb{R}^3$$ con integrales de línea, superficie y volumen, que generalizan la integral de una función real en $$\mathbb{R}$$. Teniendo en cuenta que lo que se integra son funciones $$\mathbf{F}: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$$, tenía en mi mente asociado que la función era $$\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$$, porque estabamos en el espacio $$\mathbb{R}^3$$, y que por tanto, de considerar una generalización de las integrales a $$\mathbb{R}^n$$, se deberían integrar funciones $$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$$. Sin embargo, tras leer sobre formas diferenciales, veo que una $$k$$ forma, $$k \leq n$$, en un espacio de dimensión $$n$$ va a tener, de acuerdo a alguna base, en su expresión $$\binom{n}{k}$$ términos. Esto implica que para el espacio de dimensión $$4$$, una $$2$$ forma va a tener $$6$$ términos. Si llevamos la 2 forma a una función multiplicada por algo, esto me daría que la función es del tipo $$\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^6$$, lo cual sale del esquema previamente planteado. Me lleva esto a pensar que el hecho de que en $$\mathbb{R}^3$$ se integren sobre líneas o superficies funciones $$\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$$ es una coincidencia y no una "relación directa".

¿Les parece correcto el planteo?

Mensaje de la moderación: se ha corregido el \( \LaTeX \). Debes usar $$ en vez de $, o mejor aún, encerrar las expresiones matemáticas en las etiquetas [tex] y [/tex].

[Masacroso]

No entiendo bien lo que preguntas, pero lo que se integra en cualquier variedad diferencial son formas diferenciales de volumen. Cuando se integran "campos vectoriales" lo que se suele hacer más bien es transformar estos a formas diferenciales de volumen.

Aunque también sería posible, dada una forma de volumen determinada, integrar funciones que toman valores en un espacio vectorial. Algo así podría tener sentido cuando hay una forma de volumen canónica como en una variedad riemanniana.

[arkady-svidrigailov]

Me explayo un poco porque quizás estoy usando mal algunos términos. Por ejemplo, para \( \mathbb{R}^3 \) se pueden integrar 1-formas, 2-formas y 3-formas. Si tomamos una 2-forma, la integral sobre una superficie se puede escribir como:

\( \displaystyle\int_{S} F_x (x, y, z) \, dy dz + F_y (x, y, z) \, dz dx + F_z (x, y, z) \, dx dy \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \)

o también como si fuese un campo vectorial \( \mathbf{F} = F_x\, \boldsymbol{i} + F_y\, \boldsymbol{j} + F_z\, \boldsymbol{k} \) multiplicado con algo denotado por \( d\boldsymbol{S} \) ( \( = dy dz \, \boldsymbol{i} + dz dx \, \boldsymbol{j} + dx dy \, \boldsymbol{k}) \), que sería:

\( \displaystyle\iint_{\boldsymbol{S}(R)} \mathbf{F} \, d\boldsymbol{S} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) \)

La función \( \mathbf{F} \) es una función \( \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \). Ahora, si vamos al espacio \( \mathbb{R}^4 \), si escribo una formula donde se integre una 2-forma sobre una superficie, y luego intente hacer lo mismo que arriba, la función \( \mathbf{F} \) que me queda es una del tipo \( \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^6 \), ¿sería esto correcto? Porque \( \Omega^2 (\mathbb{R}^4) \) tiene 6 elementos en la base. Algo del estilo

\( \displaystyle\iint_{\boldsymbol{S}(R)} (F_1, F_2, F_3, F_4, F_5, F_6) \, (dx^1 dx^2, dx^2 dx^3, dx^3 dx^4, dx^4 dx^1, dx^1 dx^3, dx^2 dx^4) \)




Otra cosa que me gustaría hacer es generalizar la expresión de abajo, en este caso la integral de superficie en \( \mathbb{R}^3 \), donde \( \boldsymbol{S}: (u, v) \mapsto (x, y, z) \)

\( \displaystyle\iint_{\boldsymbol{S}(R)} \mathbf{F} \, d\boldsymbol{S} = \iint_{R} \mathbf{F} (\boldsymbol{S}(u, v)) \left ( \dfrac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)} , \dfrac{\partial (z, x)}{\partial (u, v)}
, \dfrac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \right ) du \, dv \)

La generalización donde cambiaría \( \mathbb{R}^3 \) por \( \mathbb{R}^n \), y una 2-forma por una k-forma, imagino que debería ser algo como lo de abajo, siendo \( \varphi : (u^1, ..., u^k) \mapsto (x^1, ..., x^n) \).

\( \displaystyle\int_{R} \mathbf{F} \, d\boldsymbol{S} =
\int_{R} \mathbf{F}(\varphi(u_1, ..., u_k)) \left(
\dfrac{\partial (x^{i_1}, ..., x^{i_k})}{\partial (u^1, ..., u^k)}, ..., \dfrac{\partial (x^{i_1}, ..., x^{i_k})}{\partial (u^1, ..., u^k)}
\right) du_1... du_k \)

Los determinantes que se siguen con puntos suspensivos son \( \binom{n}{k} \) en cantidad, según entiendo. Ahora, la notación no me parece buena, pero no sé si se puede escribir de otra forma.

[Masacroso]

Me explayo un poco porque quizás estoy usando mal algunos términos. Por ejemplo, para \( \mathbb{R}^3 \) se pueden integrar 1-formas, 2-formas y 3-formas. Si tomamos una 2-forma, la integral sobre una superficie se puede escribir como:

\( \displaystyle\int_{S} F_x (x, y, z) \, dy dz + F_y (x, y, z) \, dz dx + F_z (x, y, z) \, dx dy \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (1) \)

No es en \( \mathbb{R}^3 \), es en una subvariedad de \( \mathbb{R}^3 \) de dimensión dos. La dimensión siempre coincide con el grado de la forma, de otro modo es imposible definir la integral.

o también como si fuese un campo vectorial \( \mathbf{F} = F_x\, \boldsymbol{i} + F_y\, \boldsymbol{j} + F_z\, \boldsymbol{k} \) multiplicado con algo denotado por \( d\boldsymbol{S} \) ( \( = dy dz \, \boldsymbol{i} + dz dx \, \boldsymbol{j} + dx dy \, \boldsymbol{k}) \), que sería:

\( \displaystyle\iint_{\boldsymbol{S}(R)} \mathbf{F} \, d\boldsymbol{S} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (2) \)

Eso vuelve a ser otra forma de volumen en una superficie, es decir, una 2-forma en una variedad diferencial de dos dimensiones.

La función \( \mathbf{F} \) es una función \( \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \). Ahora, si vamos al espacio \( \mathbb{R}^4 \), si escribo una formula donde se integre una 2-forma sobre una superficie, y luego intente hacer lo mismo que arriba, la función \( \mathbf{F} \) que me queda es una del tipo \( \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^6 \), ¿sería esto correcto? Porque \( \Omega^2 (\mathbb{R}^4) \) tiene 6 elementos en la base. Algo del estilo

\( \displaystyle\iint_{\boldsymbol{S}(R)} (F_1, F_2, F_3, F_4, F_5, F_6) \, (dx^1 dx^2, dx^2 dx^3, dx^3 dx^4, dx^4 dx^1, dx^1 dx^3, dx^2 dx^4) \)

Podría ser, la verdad es que no he visto nunca un caso así, pero al multiplicar todo te quedaría una 2-forma, que en principio es válido en una variedad de dimensión dos como lo es una superficie.

Otra cosa que me gustaría hacer es generalizar la expresión de abajo, en este caso la integral de superficie en \( \mathbb{R}^3 \), donde \( \boldsymbol{S}: (u, v) \mapsto (x, y, z) \)

\( \displaystyle\iint_{\boldsymbol{S}(R)} \mathbf{F} \, d\boldsymbol{S} = \iint_{R} \mathbf{F} (\boldsymbol{S}(u, v)) \left ( \dfrac{\partial (y, z)}{\partial (u, v)} , \dfrac{\partial (z, x)}{\partial (u, v)}
, \dfrac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \right ) du \, dv \)

La generalización donde cambiaría \( \mathbb{R}^3 \) por \( \mathbb{R}^n \), y una 2-forma por una k-forma, imagino que debería ser algo como lo de abajo, siendo \( \varphi : (u^1, ..., u^k) \mapsto (x^1, ..., x^n) \).

\( \displaystyle\int_{R} \mathbf{F} \, d\boldsymbol{S} =
\int_{R} \mathbf{F}(\varphi(u_1, ..., u_k)) \left(
\dfrac{\partial (x^{i_1}, ..., x^{i_k})}{\partial (u^1, ..., u^k)}, ..., \dfrac{\partial (x^{i_1}, ..., x^{i_k})}{\partial (u^1, ..., u^k)}
\right) du_1... du_k \)

Los determinantes que se siguen con puntos suspensivos son \( \binom{n}{k} \) en cantidad, según entiendo. Ahora, la notación no me parece buena, pero no sé si se puede escribir de otra forma.

Sí, en líneas generales creo que tu fórmula está bien. Todo eso se estudia en geometría diferencial donde las dimensiones de los espacios son arbitrarias. La fórmula que tú pones ahí sería en coordenadas locales.

[arkady-svidrigailov]

@masacroso Gracias por las respuestas.

Sí, en líneas generales creo que tu fórmula está bien. Todo eso se estudia en geometría diferencial donde las dimensiones de los espacios son arbitrarias. La fórmula que tú pones ahí sería en coordenadas locales.

No me convence repetir los símbolos para dos determinantes distintos, pero la fórmula se entiende si se aclara que los índices toman los valores que hacen referencia a los elementos de la base de \( \Omega^2 (\mathbb{R}^4) \).
Dice en coordenadas locales, ¿qué otro tipo de expresión podría tener? De la otra forma en que suelo verlo es como

\( \displaystyle\int_{M} \sum_{i_1, ..., i_k} \omega_{i_1 ... i_k} dx^{i_1} \wedge ... \wedge dx^{i_k} \)

pero entiendo que siguen involucradas las coordenadas si usamos los elementos \( dx^{i} \). ¿La alternativa sería coordinate-free? Algo como libre de coordenadas o sin coordenadas.

Otra pergunta es, ¿considera correcto decir que en \( \mathbb{R}^3 \) hay tres teoremas fundamentales (gradient, curl, divergence theorems)? Análogo a como en \( \mathbb{R}^1 \) se habla del teorema fundamental del cálculo. Siguiendo la analogía y ya para \( \mathbb{R}^n \) se podría hablar del teorema de Stokes como el teorema fundamental.

Gracias, saludos!

[Masacroso]

@masacroso Gracias por las respuestas.

Sí, en líneas generales creo que tu fórmula está bien. Todo eso se estudia en geometría diferencial donde las dimensiones de los espacios son arbitrarias. La fórmula que tú pones ahí sería en coordenadas locales.

No me convence repetir los símbolos para dos determinantes distintos, pero la fórmula se entiende si se aclara que los índices toman los valores que hacen referencia a los elementos de la base de \( \Omega^2 (\mathbb{R}^4) \).
Dice en coordenadas locales, ¿qué otro tipo de expresión podría tener? De la otra forma en que suelo verlo es como

\( \displaystyle\int_{M} \sum_{i_1, ..., i_k} \omega_{i_1 ... i_k} dx^{i_1} \wedge ... \wedge dx^{i_k} \)

pero entiendo que siguen involucradas las coordenadas si usamos los elementos \( dx^{i} \). ¿La alternativa sería coordinate-free? Algo como libre de coordenadas o sin coordenadas.

Exacto, libre de coordenadas es otra forma, depende de la integral que tengamos entre manos.

Otra pregunta es, ¿considera correcto decir que en \( \mathbb{R}^3 \) hay tres teoremas fundamentales (gradient, curl, divergence theorems)? Análogo a como en \( \mathbb{R}^1 \) se habla del teorema fundamental del cálculo. Siguiendo la analogía y ya para \( \mathbb{R}^n \) se podría hablar del teorema de Stokes como el teorema fundamental.

Gracias, saludos!

Fundamentales para qué ¿para integrar? Son teoremas importantes en \( \mathbb{R}^3 \) los de la divergencia, rotacional (curl) y gradiente, pero no dejan de ser casos particulares del teorema general de Stokes. A mí me parece esencial por ejemplo el teorema de la función inversa, de ahí sale casi todos los teoremas básicos de geometría diferencial.