Hola ClooseChomsky,
¡bienvenido al foro!
Definamos \( x_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n \).
Es fácil probar que esta sucesión es creciente. Basta probar lo siguiente:
\( \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n<\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1} \).
Como es creciente, en \( n=1 \) alcanzará su menor valor, esto es, \( x_1=2 \). Luego, 2 es el mínimo e ínfimo del conjunto \( S \) (me parece que tienes una confusión con estos dos conceptos).
Probar que la sucesión es acotada superiormente no es tan directo.
Usando el teorema del binomio:
\( x_n=\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}1^{n-k}\left(\dfrac{1}{n}\right)^k \)
\( \displaystyle=\binom{n}{0}+\dfrac{1}{n}\binom{n}{1}+\dfrac{1}{n^2}\binom{n}{2}+\dots\dfrac{1}{n^n}\binom{n}{n} \).
Por otra parte, para \( k\in\mathbb{N} \) y \( k\leq n \) se tiene que:
\( \displaystyle\dfrac{1}{n^k}\binom{n}{k}=\dfrac{1}{k!}\;\dfrac{n(n-1)\dots (n-k+1)}{n^k}=\dfrac{1}{k!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\left(1-\dfrac{2}{n}\right)\dots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right) \)
Con esto:
\( x_n=1+1+\dfrac{1}{2!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)+\dots\dfrac{1}{n!}\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\dots\left(1-\dfrac{n-1}{n}\right) \)
\( \leq\displaystyle\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}<1+1+{\color{red}\dfrac{1}{2}}+\dfrac{1}{2^2}+\dots+\dfrac{1}{2^{n-1}}<3 \).
Por tanto la sucesión es acotada superiormente, y como es creciente entonces es convergente.
PS: Errata advertida por Carlos Ivorra.
