[Luis Fuentes]

Hola

De orden 4, quedaría el 4-grupo de Klein que está formado por 3 elementos involutivos y el neutro, es decir \( H=\{(1,0),(0,4),(1,1),(1,4)\} \).

Mi pregunta partía que desde la afirmación hecha en rojo, se podía extender a cualquier orden del grupo. Pero parece que no es cierto tal como mostró Fernando. ¿Y cómo se hallarían si no es por esta "propiedad", los demás subgrupos no cíclicos?

 No entiendo la pregunta. Lo que si es cierto es que el único grupo DE ORDEN CUATRO NO CÍCLICO es el grupo de Klein que tiene todos sus elementos involutivos. Por tanto siempre que quieras localizar subgrupos de orden \( 4 \) no cíclicos dentro de un grupo, necesariamente debe de estar formado por \( 4 \) elementos involutivos.

 En tu caso sólo hay los \( 4 \) elementos involutivos que has colocado en \( H \) y efectivamente forman un subgrupo: es el único subgrupo de orden \( 4 \) no cíclico.

Saludos.

[manooooh]

Hola

No entiendo la pregunta. Lo que si es cierto es que el único grupo DE ORDEN CUATRO NO CÍCLICO es el grupo de Klein que tiene todos sus elementos involutivos. Por tanto siempre que quieras localizar subgrupos de orden \( 4 \) no cíclicos dentro de un grupo, necesariamente debe de estar formado por \( 4 \) elementos involutivos.

 En tu caso sólo hay los \( 4 \) elementos involutivos que has colocado en \( H \) y efectivamente forman un subgrupo: es el único subgrupo de orden \( 4 \) no cíclico.

Gracias. La pregunta es si esto de formar un conjunto con \( n \) elementos involutivos garantiza siempre que sea un subgrupo para todo \( n \) (como pasó con el subgrupo \( H \) del ejercicio, con \( n=4 \)).

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias. La pregunta es si esto de formar un conjunto con \( n \) elementos involutivos garantiza siempre que sea un subgrupo para todo \( n \) (como pasó con el subgrupo \( H \) del ejercicio, con \( n=4 \)).

No. Claramente no lo garantiza. En tu mismo ejemplo si en lugar de cuatro elementos coges \( 2 \) ó \( 3 \) de ellos ya no tienes un subgrupo.

O en general si tomas \( p\geq 3 \) primo, \( p \) elementos involutivos nunca forman un subgrupo porque todo grupo de orden \( p\geq 3 \) primo es cíclico y sin más elemento involutivo que el neutro.

Saludos.

[manooooh]

Hola

No. Claramente no lo garantiza. En tu mismo ejemplo si en lugar de cuatro elementos coges \( 2 \) ó \( 3 \) de ellos ya no tienes un subgrupo.

Perdón que insista, pero si tomo menos no estoy cogiendo todos los elementos involutivos. A mi pregunta habría que agregarle "todos" los elementos involutivos, no sólo unos cuantos.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Perdón que insista, pero si tomo menos no estoy cogiendo todos los elementos involutivos. A mi pregunta habría que agregarle "todos" los elementos involutivos, no sólo unos cuantos.

Entonces rebobinamos y volvemos al contraejemplo que te puso Fernando:

Sería: sea \( \mathbf{GL}_2(\mathbb R) \) el grupo lineal de orden \( 2 \) (i.e. el grupo de las matrices invertibles reales de orden \( 2 \)) y \( H=\left\{{X\in \mathbf{GL}_2(\mathbb R):X^2=I}\right\} \) (i.e. el subconjunto de los elementos involutivos). Entonces, \( H \) no es subgrupo pues el producto en \( H \) no es operación cerrada.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:
Entendí en tu primer mensaje...

Sea \( G \) un grupo y sea \( H\subseteq G \). Si \( H \) está formado por elementos involutivos (aquellos que son sus propios simétricos), ¿siempre \( H \) es subgrupo de \( G \)?

que \( H \) no tenía porqué estar formado necesariamente por todos los elementos involutivos, y por eso, cuando has tomado \( H=\{I,A,B\} \), he dado el contraejemplo como válido.
Saludos

[manooooh]

Hola

De ahora en más hablaremos de que en el conjunto \( H \) deben estar todos los involutivos.

En ese caso:

Entonces rebobinamos y volvemos al contraejemplo que te puso Fernando:

Sería: sea \( \mathbf{GL}_2(\mathbb R) \) el grupo lineal de orden \( 2 \) (i.e. el grupo de las matrices invertibles reales de orden \( 2 \)) y \( H=\left\{{X\in \mathbf{GL}_2(\mathbb R):X^2=I}\right\} \) (i.e. el subconjunto de los elementos involutivos). Entonces, \( H \) no es subgrupo pues el producto en \( H \) no es operación cerrada.

¿Cómo se demuestra que la operación restringida al conjunto \( H \) no es cerrada?

Me cuesta encontrar un contraejemplo donde podamos incluir todos los involutivos, pues creo que \( H=\left\{{X\in \mathbf{GL}_2(\mathbb R):X^2=I}\right\} \) es un conjunto infinito.

Saludos

[ani_pascual]

¿Cómo se demuestra que la operación restringida al conjunto \( H \) no es cerrada?

Me cuesta encontrar un contraejemplo donde podamos incluir todos los involutivos, pues creo que \( H=\left\{{X\in \mathbf{GL}_2(\mathbb R):X^2=I}\right\} \) es un conjunto infinito.

Es que para demostrar que la operación restringida al conjunto \( H \), donde están todos los elementos involutivos, no es cerrada basta con encontrar un par de elementos de \( H \) cuya multiplicación no está en \( H \), como por ejemplo, \( A \) y \( B \)
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

¿Cómo se demuestra que la operación restringida al conjunto \( H \) no es cerrada?

Me cuesta encontrar un contraejemplo donde podamos incluir todos los involutivos, pues creo que \( H=\left\{{X\in \mathbf{GL}_2(\mathbb R):X^2=I}\right\} \) es un conjunto infinito.

Como te indica ani_pascual y también de indicó Fernando, basta dar dos elementos de \( H \) cuyo producto no esté en \( H \), y ya te han dado esos elementos:

Para el grupo lineal de orden \( 2 \), elige \( A=\begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{0}\end{bmatrix} \) y \( B=\begin{bmatrix}{2}&{-1}\\{3}&{-2}\end{bmatrix} \). Comprueba que \( A \) y \( B \) son involutivas pero que \( AB \) no lo es.

Si quieres un ejemplo en un grupo finito toma \( G=S_3 \) el grupo de permutaciones de \( 3 \) elementos; los elementos involutivos son las trasposiciones y el neutro (cuatro elementos), pero no forman un subgrupo (entre otras cosas porque \( 4 \) no es divisor de \( ord(G)=6 \)).

En general en el grupo de permutaciones \( S_n \) con \( n\geq 3 \) los elementos involutivos nunca forman un subgrupo porque las trasposiciones están entre ellos y generan todo el grupo \( S_n \), pero hay permutaciones que no son involutivas.

Saludos.

[manooooh]

Hola

Muchas gracias a todos, lo pude entender.

En general en el grupo de permutaciones \( S_n \) con \( n\geq 3 \) los elementos involutivos nunca forman un subgrupo porque las trasposiciones están entre ellos y generan todo el grupo \( S_n \), pero hay permutaciones que no son involutivas.

Incluso me atrevería a decir que ni siquiera está garantizado por no cumplir el teorema de Lagrange, como sucede con todos los involutivos de \( S_3 \), por lo que (con algunos \( n>3 \)) sería muy fácil descartar que sea subgrupo.

Saludos