[imaginaryboy]

Hola

Quisiera saber si la siguiente función  \( f:\mathbb{N}\longrightarrow{}\mathbb{2Z} \)
es un isomorfismo entre \( \mathbb{N} \) y \( \mathbb{2Z} \)

\( (*1)  \) Reviso que f sea inyectiva, por definición entonces;
\( f(a)=f(b) \)
\( 2a=2b \)
\( a=b \) ,por lo tanto f es 1-1.

\( (*2) \) Reviso que f es sobreyectiva;
por definición \( b\in{\mathbb{2Z}},\exists{a}\in{\mathbb{N}}:b=2a \)
\( f(a)=y \)
\( 2a=y \)
\( a=y/2 \)
entonces
\( f(x)=f(y/2)=2(y/2)=y \) ,por lo tanto es sobreyectiva.

\( (*3) \) Quiero ver que se preserva el orden, \( a\leq{b}\in{N}\Longleftrightarrow{}f(a)\leq{f(b)} \)
\( f(a)\leq{f(b)}\Longleftrightarrow{}2a\leq{2b}\Longleftrightarrow{}a\leq{}b \)

Entonces de (*1) (*2) & (*3) \( \mathbb{N} \) es isomorfo a \( \mathbb{2Z} \)
Eso demostraría que f es un isomorfismo entre los números naturales y los enteros pares?... por otra parte como existe f y es isomorfismo puedo asumir directamente que \( \exists{f^{-1}} \) y así \( \mathbb{2Z} \) es isomorfo a \( \mathbb{N} \)? ¿o eso estaría mal?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola

Quisiera saber si la siguiente función  \( f:\mathbb{N}\longrightarrow{}\mathbb{2Z} \)
es un isomorfismo entre \( \mathbb{N} \) y \( \mathbb{2Z} \)

Se supone que te refieres a la función \( f(x)=2x \).

\( (*1)  \) Reviso que f sea inyectiva, por definición entonces;
\( f(a)=f(b) \)
\( 2a=2b \)
\( a=b \) ,por lo tanto f es 1-1.

\( (*2) \) Reviso que f es sobreyectiva;
por definición \( b\in{\mathbb{2Z}},\exists{a}\in{\mathbb{N}}:b=2a \)

Pero eso está mal porque si \( b\in 2\Bbb Z \) entonces \( b=2a \) con \( a\in \Bbb Z \), pero \( a \) NO tiene porque ser necesariamente natural.

Por ejemplo \( -2=2\cdot (-1)\in \Bbb Z \) pero NO existe ningún \( a \) natural tal que \( -2=2a \).

Por tanto NO es sobreyectiva y NO es isomorfismo.

De hecho \( \Bbb N \) y \( 2\Bbb Z \) no son isomorfos como conjuntos ordenados, porque \( \Bbb N \) tiene mínimo pero \( 2\Bbb Z \) no lo tiene.

Si podría definirse una biyección entre ellos, pero que no respetaría el orden.

Saludos.

[imaginaryboy]

Muchas gracias Luis.

Ahora, como dijiste que los naturales tienen mínimo y en cambio \( \mathbb{2Z} \) no tiene mínimo. ¿El infinito de los naturales es mas 'chico' que el de \( \mathbb{2Z} \)? y entonces no es posible que sean isomorfos ¿o eso no tiene nada que ver? y si eso es cierto, entonces es cierto en general que no hay isomorfismo entre conjuntos ordenados con distintos ordenes de infinitud?

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias Luis.

Ahora, como dijiste que los naturales tienen mínimo y en cambio \( \mathbb{2Z} \) no tiene mínimo. ¿El infinito de los naturales es mas 'chico' que el de \( \mathbb{2Z} \)? y entonces no es posible que sean isomorfos ¿o eso no tiene nada que ver? y si eso es cierto, entonces es cierto en general que no hay isomorfismo entre conjuntos ordenados con distintos ordenes de infinitud?

No son isoformos como conjuntos ordenados porque tienen propiedades diferentes relativas al orden.

Pero si son biyectivos y por tanto NO es cierto que "El infinito de los naturales es mas 'chico' que el de \( \mathbb{2Z} \)". Son infinitos de la misma magnitud porque si puedes definir una aplicación biyectiva entre los naturales y \( \Bbb 2Z \). Por ejemplo:

\( f:\Bbb N\to 2\Bbb Z
 \)
\( f(n)=\begin{cases}{n}&\text{si}& n\text{ par}\\\color{red}-(n+1)\color{black} & \text{si}& n\text{ impar}\end{cases} \)

(entendiendo que incluimos el cero en los naturales).

Saludos.

CORREGIDO

[imaginaryboy]

Saludos Luis. Muchas gracias por la enseñanza.

[Juan Pablo Sancho]

Supongo será:

\( f:\Bbb N\to 2\Bbb Z
 \)
\( f(n)=\begin{cases}{n}&\text{si}& n\text{ par}\\\color{red}-n+1 \color{black} & \text{si}& n\text{ impar}\end{cases} \)



Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Supongo será:

\( f:\Bbb N\to 2\Bbb Z
 \)
\( f(n)=\begin{cases}{n}&\text{si}& n\text{ par}\\\color{red}-n+1 \color{black} & \text{si}& n\text{ impar}\end{cases} \)

Si, gracias.

Saludos.