[Jambo]

Hola! Espero alguien pueda ayudarme con el siguiente ejercicio:

Sea \( A=\left\{{4n+1 : n=0,1,2....}\right\} \). Un elemento de A distinto de 1 es A-primo si los unicos divisores en \( A \) son 1 y el mismo. Los elementos restantes de \( A \) mayores que 1 se llaman A-compuestos.

Tengo que probar que todo numero A-compuesto se descompone en producto de factores A-primos

Agradezco su ayuda 

[feriva]

Hola! Espero alguien pueda ayudarme con el siguiente ejercicio:

Sea \( A=\left\{{4n+1 : n=0,1,2....}\right\} \). Un elemento de A distinto de 1 es A-primo si los unicos divisores en \( A \) son 1 y el mismo. Los elementos restantes de \( A \) mayores que 1 se llaman A-compuestos.

Tengo que probar que todo numero A-compuesto se descompone en producto de factores A-primos

Agradezco su ayuda 

Hola. Yo lo diría así:

Tienes que los números de “A” son siempre mayores que cero.

Con esa consideración, también son mayores que 1 y son claramente naturales todos, pues si “n” es natural, 4n lo es también por cerradura del producto de dos naturales; e igualmente, por la cerradura de la suma, lo es 4n+1.

De hecho, siempre que n>0, se puede determinar que el mínimo del conjunto es 5; son todos los naturales de la forma 4n+1; mayores que 4.

Por definición, todos los números naturales mayores que 1 son primos o compuesto y, por tanto, si son compuestos, se descomponen en producto de primos.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Por definición, todos los números naturales mayores que 1 son primos o compuesto y, por tanto, si son compuestos, se descomponen en producto de primos.

Pero el ejercicio no está hablando de primos, sino de \( A \)-primos. Por ejemplo \( 9 \) es \( A \)-primo pero no es primo. Por tanto no llega con lo que indicas.

Sea \( A=\left\{{4n+1 : n=0,1,2....}\right\} \). Un elemento de A distinto de 1 es A-primo si los unicos divisores en \( A \) son 1 y el mismo. Los elementos restantes de \( A \) mayores que 1 se llaman A-compuestos.

Tengo que probar que todo numero A-compuesto se descompone en producto de factores A-primos

Lo puedes probar por inducción fuerte. Para el paso inductivo tienes que probar que:

sabiendo que para todo \( 4k+1\in A \) con \( k<n \), se tiene que \( 4k+1 \) es A-primo o producto de A-primos entonces \( 4n+1\in A \) o es primo o es producto de A-primos.

Entonces si \( 4n+1\in A \) no es \( A \)-primo por definición existe \( 4a+1\in A \) divisor de \( 4n+1 \), con \( 0<a<n \), de forma que:

\( 4n+1=(4a+1)M \)

ahora comprueba que \( M=1 \) mod \( 4 \) y por tanto \( M=4b+1\in B \). Además como \( 0<a<n \) se cumple también que \( 0<b<n \). Por hipótesis de inducción \( 4a+1 \) y \( 4b+1 \) se descomponen en producto de A-primos y como \( 4n+1=(4a+1)(4b+1) \) entonces \( 4n+1 \) también se descompone como producto de A-primos.

Saludos.

[feriva]

Pero el ejercicio no está hablando de primos, sino de \( A \)-primos. Por ejemplo \( 9 \) es \( A \)-primo pero no es primo. Por tanto no llega con lo que indicas.

Es cierto, que dice "en A", no había caído.

Gracias.