Carlos, te has puesto a hablar de lo que supone el teorema de Banach-Tarski en la realidad física y eso no lleva a ninguna parte que no sea hundirse en paradoja tras paradoja(hasta has mencionado quarks), además no tiene nada que ver mi pregunta que se limita a la parte matemática del teorema(y por eso hablo que de lo que se asume, como en cualquier teorema) y de investigar la razón por la que los modelos matemáticos físicos no llevan nunca a algo como las "bolas mágicas" de Banach-Tarski.
Tenía clase esta tarde y no he podido responder hasta ahora, y veo que ya está el hilo muy avanzado. Precisamente si me he ido por el terreno físico era porque estaba dando por hecho lo que te ha dicho aquí geómetracat:
En particular no hay absolutamente nada a nivel matemático que impida que no se dé la paradoja en los espacios que se consideran en física, más allá de que no hace falta considerar nunca conjuntos no medibles.
Precisamente porque desde el punto de vista matemático la paradoja la tienes ahí, quieras o no, trataba de explicarte que el único motivo por el que la paradoja no se da "en la práctica" es porque las matemáticas aplicadas a la física parten de unos supuestos de continuidad que no son admisibles cuando es relevante la estructura microscópica de la materia, porque otro motivo no hay.
Entonces partiendo de que el teorema de Banach-Tarski demuestra que para dimensión n mayor o igual que 3 no existe en \( \mathbb{R^n} \) una medida \( \mu \) que sea a la vez exhaustiva(o sea que se cumpla en cualquier sitio del espacio dado), invariante por isometrı́as y para la que la medida del n-cubo unidad sea 1, o en otras palabras, que no existe una medida universal en \( \mathbb{R^n} \), si \( n ≥ 3 \), lo que me preguntaba es si hay alguna característica de los espacios usados usualmente en física como \( \mathbb{R^3} \) o \( \mathbb{R^4} \) o espacios de Hilbert combinados con los anteriores, en los que no debería haber una medida universal por que cumplen lo dicho arriba sobre invariancia, exhaustividad y normalización, que haga que no tengan problemas de conjuntos no-medibles en sus bolas.
No te sigo. ¿Quiéres que todos los subconjuntos de una bola sean medibles? ¿Pero te vale cualquier medida? Porque lo usual, si trabajas, digamos en \( \mathbb R^3 \), es considerar la medida de Lebesgue, que es la que se corresponde con el concepto de volumen asociado a la métrica usual, y a lo sumo podrás considerar posibles extensiones, pero si estás en \( \mathbb R^3 \) con la métrica usual y la medida de Lebesgue que le corresponde, pues ya tienes quieras o no la paradoja.
Aventuraba yo que se podía deber a que tales modelos matemáticos no permiten a sus espacios el uso de grupos de isotropía triviales, es decir la acción libre y transitiva de grupos como \( SO(3) \) en \( \mathbb{R^3} \), pero como no has querido entrar en esto pues no sé si sigues sin entenderme, o si no has visto nunca la demostración de Banach-Tarski en términos de conjuntos paradójicos y las acciones de ciertos grupos no amenables sobre ellos.
Sí, sé de lo que hablas, pero eso es sólo una generalización de la paradoja que permite reproducirla en otro tipo de espacios unificando los argumentos (en cuanto encuentras un grupo de isometrías paradójico sobre un conjunto ya tienes la paradoja automáticamente), y permite estudiar qué tipos de isometrías son necesarias, etc., ¿pero de qué te sirve generalizar si ya tienes un caso particular quieras o no? Si es un hecho que una bola es paradójica respecto del grupo formado por las isometrías y las traslaciones, ¿qué más te da si lo es para otros grupos o no? Ya tienes un caso particular que te genera la paradoja allí donde tengas una bola de \( \mathbb R^3 \) y suficientes isometrías, como vas a tener en cualquier contexto físico que considere un espacio tridimensional euclídeo (por ejemplo, una variedad diferencial con frontera que represente un tubo por el circula un fluido, etc.). Así que sigo sin ver qué es lo que buscas.
Por otro lado, te decía, que toda esa maquinaria para generar descomposiciones paradójicas es sólo artillería para obtener algo espectacular, como una duplicación de una esfera. Pero no necesitas conjuntos G-paradójicos para obtener modestos conjuntos no medibles en prácticamente cualquier contexto (por ejemplo, que involucre la geometría euclídea en \( \mathbb R^3 \)) que, aunque sean menos espectaculares, matemáticamente son bichos tan raros y desprovistos de interpretación física como las piezas de la descomposición de la esfera. Quiero decir que, aunque entendiera qué estás buscando —que sigo sin entenderlo— sólo estarías eliminando una curiosidad —que no entiendo cómo quieres eliminarla si el hecho es que la paradoja de Banach-Tarski la tienes ahí, quieras o no—, pero los conjuntos no medibles los tendrías igual, porque su existencia no depende de tanto artificio técnico.
A ver si voy bien por aquí: tenemos la paradoja de Banach-Tarski básica: una bola de \( \mathbb R^3 \) puede descomponerse paradójicamente mediante giros y traslaciones. Eso es un teorema que no requiere hipótesis alguna. Es como \( 2+2=4 \). Se demuestra y ya está. No es "Suponiendo tal y tal, podemos concluir que \( 2+2=4 \)". Es la afirmación "una esfera se puede partir en dos" y ya está. Sin hipótesis alguna.
Pero luego, ese teorema concreto se puede generalizar en la forma: Si en un espacio tienes un grupo que actúa sobre él, y dicho grupo tiene un subgrupo que cumple tales hipótesis, entonces tienes una descomposición paradójica. Y ahí sí que tienes un teorema con hipótesis que incluye el otro como caso particular.
Y entonces —digo yo si es esto lo que estás diciendo, que no lo sé— tú te pones a especular con esas hipótesis a ver cuándo se cumplen o no se cumplen, qué tiene que pasar para que se cumplan o dejen de cumplirse, pero no caes en la cuenta de que tienes el caso particular original, sin hipótesis, que va a estar ahí en cualquier espacio razonable mínimamente clásico, sin necesidad de que se cumpla ninguna hipótesis más allá de las obvias incluidas en lo de "mínimamente clásico", es decir, que modelice una realidad física que localmente sea como \( \mathbb R^3 \) con sus isometrías y traslaciones usuales, para que se dé el caso original de la paradoja.
Pero ya digo, estoy dando palos de ciego, porque sigo sin entender qué pretendes. Veo que has estado discutiendo con geómetracat las hipótesis que se requieren o no para que se cumpla el teorema general sobre descomposiciones paradójicas, pero lo que yo me pregunto es qué importa todo eso si en cualquier caso siempre vas a tener el caso original de la paradoja.
