Autor Tema: Consulta respecto a los "puntos límites por abajo y por arriba"

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25 Octubre, 2021, 09:41 am
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Fernando Padilla

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He encontrado una definición en un texto:
"Para una topología en \( \mathbb R \) y algún subconjunto \( A\subset \mathbb R \), consideramos un punto \( x\in \mathbb R \). Decimos que \( x \) es un punto límite por arriba de \( A \) si todo entorno de \( x \) tambien contiene un punto \( y\in A \) tal que \( x<y \) . Similarmente, un punto \( x \) es un punto límite por abajo de \( A \) si todo entorno de \( x \) tambien contiene un punto \( y\in A \) tal que \( y<x \)".

Entorno de \( x \) en esta lectura se refiere a conjunto abiertos que contiene a \( x \).

Con respecto a esa definición tengo 3 consultas:

1. Cuando dice "Para una topología en \( \mathbb R \)", ¿se refiere a cualquier topología que se pueda definir en \( \mathbb R \)?
2. ¿Se puede extender esta definición a cualquier conjunto totalmente ordenado? o  quizás hay alguna condición extra o quizás con una condición más débil que ser un conjunto totalmente ordenado se pueda definir tal definición en dicha topología
3. Si \( A_l \) es el conjunto de puntos límites por abajo de \( A \), \( A_L \) es el conjunto de puntos límites por arriba de \( A \) y \( A' \) el conjunto de punto límites de \( A \), entonces ¿ \( A_l \cup A_L = A' \)?

25 Octubre, 2021, 10:47 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

He encontrado una definición en un texto:
"Para una topología en \( \mathbb R \) y algún subconjunto \( A\subset \mathbb R \), consideramos un punto \( x\in \mathbb R \). Decimos que \( x \) es un punto límite por arriba de \( A \) si todo entorno de \( x \) tambien contiene un punto \( y\in A \) tal que \( x<y \) . Similarmente, un punto \( x \) es un punto límite por abajo de \( A \) si todo entorno de \( x \) tambien contiene un punto \( y\in A \) tal que \( y<x \)".

Entorno de \( x \) en esta lectura se refiere a conjunto abiertos que contiene a \( x \).

Con respecto a esa definición tengo 3 consultas:

1. Cuando dice "Para una topología en \( \mathbb R \)", ¿se refiere a cualquier topología que se pueda definir en \( \mathbb R \)?

Si.

Citar
2. ¿Se puede extender esta definición a cualquier conjunto totalmente ordenado? o  quizás hay alguna condición extra o quizás con una condición más débil que ser un conjunto totalmente ordenado se pueda definir tal definición en dicha topología

Si.

Citar
3. Si \( A_l \) es el conjunto de puntos límites por abajo de \( A \), \( A_L \) es el conjunto de puntos límites por arriba de \( A \) y \( A' \) el conjunto de punto límites de \( A \), entonces ¿ \( A_l \cup A_L = A' \)?

Si. Está claro que cualquier punto límite por arriba o por abajo es un punto límite usual.

Para la otra inclusión si \( x \) es un punto límite de \( A \) entonces todo entorno de \( x \) corta a \( A-\{x\} \).

Si \( x \) no fuese ni un punto límite superior ni inferior existiría dos entornos \( U,V \) de \( x \) tales que:

\( U\cap A-\{x\}\cap (x,+\infty)=\emptyset \) y \( V\cap A-\{x\}\cap (-\infty,x)=\emptyset \)

Pero entonces:

\( U\cap V\cap A-\{x\}=U\cap V\cap A-\{x\}\cap (x,+\infty)\cup U\cap V\cap A-\{x\}\cap (-\infty,x)=\emptyset \)

es decir \( U\cap V \) sería un entorno de \( x \) que NO corta a  \( A-\{x\} \) y por tanto \( x \) no sería un punto límite.

Saludos.

25 Octubre, 2021, 07:15 pm
Respuesta #2

Fernando Padilla

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Hola, Luis.


Si. Está claro que cualquier punto límite por arriba o por abajo es un punto límite usual.

Para la otra inclusión si \( x \) es un punto límite de \( A \) entonces todo entorno de \( x \) corta a \( A-\{x\} \).

Si \( x \) no fuese ni un punto límite superior ni inferior existiría dos entornos \( U,V \) de \( x \) tales que:

\( U\cap A-\{x\}\cap (x,+\infty)=\emptyset \) y \( V\cap A-\{x\}\cap (-\infty,x)=\emptyset \)

Pero entonces:

\( U\cap V\cap A-\{x\}=U\cap V\cap A-\{x\}\cap (x,+\infty)\cup U\cap V\cap A-\{x\}\cap (-\infty,x)=\emptyset \)

es decir \( U\cap V \) sería un entorno de \( x \) que NO corta a  \( A-\{x\} \) y por tanto \( x \) no sería un punto límite.

Muchas gracias, ha quedado claro.