[zimbawe]

Hola, necesito probar que el espacio de Fort no satisface el primer axioma de numerabilidad.
No lo he logrado, asumí que el punto p tenía una base local enumerable pero no llego a nada.
Quedo agradecido por su ayuda.

[geómetracat]

Deberías aclarar a qué te refieres por eapacio de Fort. Según veo en internet es un conjunto infinito \( X \) con un punto \( p \in X \) y donde los abiertos son los conjuntos que no contienen a \( p \) y los que contienen todos los puntos de \( X \) salvo un conjunto finito.

En ese caso, tal espacio no es 1-numerable si (y solo si) \( X \) es infinito no numerable. Supón que \( X \) es no numerable y que existe una base local de entornos de \( p \) que es numerable. Cada conjunto de tal base de entornos es de la forma \( X - A_i \) donde \( A_i \) es un conjunto finito. Considera la intersección de todos los conjuntos de la base y prueba que tal intersección contiene algún punto, digamos \( q \), además de \( p \). Entonces \( X-\{q\} \) es un entorno de \( p \) que no contiene a ningún elemento de la base local, contradicción.

Te dejo también que pruebes que si \( X \) es numerable entonces es 1-numerable.

[zimbawe]

Hola muchas gracias. ¿Eso que me pides probar no es el contrarecriproco de lo que probaste? Otra cosa, si por ejemplo \( \cap{X-A_i}={p} \) entonces tendríamos \( UA_i=X-{p} \) lo cual es imposible¿Cierto?

[geómetracat]

No. Hemos probado que si \( X \) es infinito no numerable entonces no cumple el primer axioma de numerabilidad. El contrarrecíproco sería que si \( X \) cumple el primer axioma de numerabilidad entonces \( X \) es infinito numerable. Pero lo que te pedía probar era que si \( X \) es infinito numerable entonces cumple el primer axioma de numerabilidad. Para hacer esto, debes dar una base local numerable explícita de cada punto (si \( q \neq p \) es trivial: \( \{\{q\}\} \) es una base local de entornos de \( q \), así que lo único que debes hacer es dar una base local de entornos de \( p \) que sea numerable).

Sobre lo segundo, en efecto, debes probar que no puedes tener \( \bigcup_i A_i = X - \{p\} \) donde los \( A_i \) son finitos y hay una cantidad numerable de ellos. Pero tienes que argumentar por qué no puede pasar esto si \( X \) es infinito no numerable (y, en cambio, sí puede pasar si \( X \) es infinito numerable).