[Jabato]

Sobre el 3 conviene alegar que los métodos de integración están ahí por algún motivo, es decir, es bueno usarlos porque automatizan dentro de lo posible el proceso y suelen ahorrar tiempo y trabajo, por lo que aplicándolos la integral resulta:

\( {\displaystyle\int Sec^3 (x)Tan(x)\ dx=\displaystyle\int \displaystyle\frac{Sen(x)}{Cos^4(x)}\ dx=-\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{dt}{t^4}=\displaystyle\frac{1}{3t^3}+Cte=\displaystyle\frac{1}{3Cos^3(x)}+Cte} \)

Obteniéndo idéntico resultado pero de una forma mucho más metódica y breve.

Nada que objetar al último.

Saludos, Jabato.

[gmares]

Saludos Jabato, estoy comenzando con tu curso y lo encuentro bastante interesante en la medida que, observo que los métodos que presentan me resultan conocidos pero de alguna forma los he aprendido en forma diferente. Tal es el caso de la sustitución, tú expones lo siguiente:

La idea de este método estriba en considerar que la variable x es a su vez función de otra variable que denominaré t,  lo que provoca la transformación de la integral en otra que puede ser más sencilla ó conocida:

\( \displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx=\displaystyle\int_{}^{}f(t)x'(t)dt \)

Aquí recuerdo haber aplicado siempre exactamente el paso inverso a este, es decir, dada una función \( f(x) \) asumo que esta puede representarse como una función compuesta de forma más simple. Luego reemplazo a esta por una función \( F(u) \) donde \( F(u)=F(f(x)) \). En relación a esto como F(u) es función compuesta entonces:
\( \frac{du}{dx}=F'(x) \) despejando \( dx=\frac{du}{F'(x)} \).

Luego la integral me queda de la forma:

\( \displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx = \displaystyle\int_{}^{} F(u)\frac{du}{f'(x)} \)

Aplicada a un ejemplo simple, (es nada más que un ejemplo y la sustitución no presenta utilidad alguna para su resolución):
\( \displaystyle\int_{}^{}2x\ dx  \) haciendo 2x = u será \( dx=\frac{du}{2} \) luego la integral quedará:
\(  \frac{1}{2}\displaystyle\int_{}^{}u\ du  \)
\( \frac{1}{2}\frac{u^2}{2} \) lo que resulta equivalente luego de reaplazar u por 2x, al resultado que se hubiera obtenido sin la sustitución.

Ahora pregunto, y no es con ánimo de utilizar esto ni mucho menos, si hago tu curso me ajusto a lo que propones, simplemente deseo ordenar los conocimientos. Entonces, este método es una deformación del que tu propones? Es erróneo su planteo?

Obvservé que otro participante del curso Aesede planteaba las sustituciones al revés no se si son casos similares o no. Desde ya gracias, saludos!

[Jabato]

Sí, es cierto lo que dices. El enfoque de la sustitución puede ser diverso y a menudo en los libros no distingue entre ambas modalidades. En realidad si tengo que ser sincero ambos procedimientos son correctos siempre que se respete una condición, de la que también hablo en el curso, que es la de que hay que tener en cuenta el dominio y el rango de la función que se utiliza para realizar la transformación de la integral, ya que eso afecta (puede afectar) a la primitiva. Hay varios ejemplos expuestos en el curso y comentados en este hilo también, creo.

Ahora bien, en la propia teoría del curso se da una explicación (al menos se intenta) del porqué para un cambio de la forma \( x=f(t) \) yo lo considero substitución, y la otra modalidad, \( t=f(x) \), yo la considero composición de funciones. No existe una razón más poderosa para realizar esa distinción salvo la de que en el caso que yo denomino de substitución lo que realmente se hace es substituir una variable por otra, y sin embargo el caso que expones se basa en una conocida propiedad de la composición de funciones. Aunque puedes hacer la consideración que estimes más oportuna. Realmente no tiene importancia la forma en que denominemos el procedimiento, lo que sí es importante al utilizar cualquiera de los dos cambios:

\( x=f(t) \)              ó bien            \( t=f(x) \) 

es no perder de vista los dominios y rangos de la función que utilizamos para realizar la transformación de la integral, ya que como ya te dije eso puede afectar a la solución pero cualquiera de las dos modalidades es correcta, sí, de hecho en la teoría del curso están contempladas las dos, aunque bien es verdad que bajo distinto nombre. Espero haberte aclarado la duda.

Gracias por participar. Saludos, Jabato.

[gmares]

No, gracias a vos Jabato. Entendí perfectamente lo que dices, y estoy de acuerdo en que no hay que perder de vista los conceptos más primitivos como es el del dominio de una función. En mi opinión a quienes estudiamos por necedidad y no por gusto, es decir como parte de una carrera universitaria, se nos da la matemática de a trozos y en forma bastante rápida, dejando ambiguedades y ciertos agujeros en los conceptos. Es imposible que se logre una comprensión plena de lo que se enseña si no es por voluntad propia, creo que estos cursos son una buena oportunidad para ello. Saludos!

Pd: un ejemplo de lo que digo mas arriba es la integral de 1/x, tu explicas muy bien porque aparecen las barras de valor absoluto, eso nunca lo escuche ni lo leí antes, aunque es bastante simple de entender nadie se detiene a aclarar esas sutilezas.

[Jabato]

Efectivamente, ese es el ejemplo más claro de lo que se dice en el curso al respecto, aunque no es el único, hay más casos.

Saludos, Jabato.

[gmares]

Hola Jabato, hace tiempo me surgió una duda, no respecto a un método pero creo que viene al caso. En muchas ocasiones he observado una expresión como \( \displaystyle\int_{}^{}\left |{f(x)}\right |\ dx \), esto es un simbolismo o se puede resolver una integral de este tipo. Digamos \( \displaystyle\int_{}^{}\left |{\frac{e^{5x}}{8x^2}}\right | dx \), esto tiene una solución especial o simplemente debo aplicar el valor absoluto a la primitiva hallada? Saludos!

[Jabato]

No, no debes aplicara el valor absoluto a la primitiva hallada, en general se cumplirá que:

\( \left|\displaystyle\int_{}^{}f(x)\ dx\right|\neq{}\displaystyle\int_{}^{}\left|f(x)\right|\ dx \)

lo que debes hacer es hallar la primitva del valor absoluto de la función, que no es lo mismo, es decir resolver la ecuación diferencial:

\( y'=|f(x)| \)

Normalmente este tipo de expresiones se usan para determinar el área bajo una curva, y se hace como aplicación de las integrales definidas, no es habitual usar este tipo de expresiones en integrales indefinidas, aunque no cabe duda de que las expresiones de la forma \( |f(x)| \) son funciones también y tendrán en general una función primitiva, aunque quizás no sea fácil obtenerla, honestamente debo decir que este tipo de integrales indefinidas no se me ha presentado nunca. Tendría que meditarlo más despacio. ¿Conoces algún caso del que tengas la solución?

Si acaso se me ocurre que la forma más aproximada a una solución sería, basándonos en el teorema fundamental del cálculo, algo parecido a esto:

\( \displaystyle\int_{}^{}|f(x)|\ dx=\displaystyle\int_{a}^{x}|f(t)|\ dt+Cte \)

en la que \( a \) es un valor fijo, constante, y al que puedes asignar el valor que más comodo te resulte para obtener la integral definida. Dicha expresión nos permite obtener la función primitiva como un caso particular de la integral definida.

Saludos, Jabato.

[gmares]

Efectivamente, la primera vez que vi la expresión \( \displaystyle\int_{}^{}\left |{f(x)}\right |dx \) fué en un libro donde se trataba el cálculo de áreas mediante integrales definidas. Decía que cuando la función tomaba valores negativos el área era igual a \( -\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) dx \) o bien debía calcularse \( \displaystyle\int_{a}^{b}\left |{f(x)}\right |dx \). Lo curioso es que nunca se explicaba como resolver eso, de allí viene mi duda.
Aparte de lo anterior, estube tratando de entender el método de integración paramétrica, pero no hay caso...
\( \forall{m\in{N}}\quad / \quad 0\leq{}m\leq{}n\qquad \displaystyle\int_{}^{}x^mf(x)dx=\left[\frac{\partial^m}{\partial p^m}\displaystyle\int_{}^{}F^{(m}(px)dx\right]_{p=1} \)

1- Los símbolos \( \frac{{\partial f}}{{\partial x}} \) se que son derivadas parciales, pero no entiendo bien cual es el parámetro.

2- Que significa el \( p=1 \), me parece que en algún lado lo ví pero no recuerdo nada.

3- Y lo más importante, no entiendo bien como funciona el método. Por ejemplo:

\( {\displaystyle\int_{}^{}x^2e^x\ dx=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\frac{e^{px}}{p}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial}}{{\partial p}}\displaystyle\frac{(px-1)}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\displaystyle\frac{p^2x-2p(px-1)}{p^4}e^{px}+x\displaystyle\frac{px-1}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=(x^2-2x+2)e^x+Cte} \)

Cómo desaparece x aquí? Y luego, lo que haces es integrar dos veces? Estoy extraviado jeje...

[Jabato]

Veamos a ver si soy capaz de explicártelo de una forma sencilla que se entienda. Supongamos la integral:

\( \displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx \)

y admitamos que al derivar su valor respecto del parámetro \( p \) n veces obtenemos:

\( \displaystyle\frac{{\partial^n }}{{\partial ^n}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{{\partial^n }}{{\partial ^n}}e^{px}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}x^ne^{px}\ dx \)

y si yo ahora particularizo para un determinado valor de \( p \), por ejemplo \( p=1 \) obtengo:

\( \displaystyle\int_{}^{}x^ne^{x}\ dx \)

Ahora bien si invierto el orden de las transformaciones realizadas y hallo primero la integral, obteniendo:

\( \displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx=\displaystyle\frac{e^{px}}{p} \)

y a continuación derivo n veces respecto de \( p \) y por último particularizo el resultado obtenido para \( p=1 \) el resultado debería de coincidir con el valor de:

\( \displaystyle\int_{}^{}x^ne^{x}\ dx \)

es decir:

\( {\displaystyle\int_{}^{}x^ne^x\ dx=\left[\frac{{\partial^n}}{{\partial p^n}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial^n}}{{\partial p^n}}\displaystyle\frac{e^{px}}{p}\right]_{p=1} \)

que es una forma un tanto peculiar de obtener primitivas derivando. Expresiones similares se obtienen para integrales de la forma:

\( \displaystyle\int_{}^{}x^me^xf(x)\dx \)

para las que se consideran los casos más conocidos:

\( \displaystyle\int_{}^{}x^me^{ax}Sen(bx)\dx \)                       \( \displaystyle\int_{}^{}x^me^{ax}Cos(bx)\dx \)

y sus combinaciones lineales de la forma:

\( \displaystyle\int_{}^{}P(x)e^{ax}Sen(bx)\dx \)                       \( \displaystyle\int_{}^{}P(x)e^{ax}Cos(bx)\dx \)

en las que \( P(x) \) reprersenta un polinomio cualquiera. Integrales que sería realmente complejo obtener por otros métodos y que sin embargo por éste método son laboriosas, pero no difíciles, al final salen.

Por ejemplo, si yo te pido que resuelvas una integral como ésta:

\( \displaystyle\int_{}^{}x^3e^xCos(8x)\ dx \)

¿qué método emplearías para resolverla?

Pues fácil, resolvería primero ésta, que está en los libros:

\( \displaystyle\int_{}^{}e^{ax}Cos(8x)\ dx \)

a continuación derivaría el resultado obtenido respecto de \( a \) tres veces, y por último particularizaría el resultado para \( a=1 \)

El método es realmente expeditivo, y tiene mucho interés habida cuenta de la importancia que tienen para el análisis funcional las funciones de la forma:

\( P(x)e^{ax}Sen(bx+c) \)

ó sus equivalentes con funciones trigonométricas hiperbólicas que también se dejan tratar con facilidad por estos métodos.

Saludos, Jabato.

[gmares]

Hola Jabato, voy entendiendo, me gustaría ir ajustando detalles pues es la primer vez que veo el método:
1- Es como que asumes que la función integrando es función de dos variables, una x, y la otra p, a quien le das finalmente, el valor 1. Por eso aparece la derivada parcial verdad? En dicho caso me parece que más que paramétrico, se introduce una nueva variable a la función, para que se convierta en una función de dos variables... Es decir, por que paramétrico?

2- No comprendo bien que le pasa al \( dx \):
\( {\displaystyle\int_{}^{}x^2e^x\ dx=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\frac{e^{px}}{p}\right]_{p=1}=\left[\frac{{\partial}}{{\partial p}}\displaystyle\frac{(px-1)}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=\left[\displaystyle\frac{p^2x-2p(px-1)}{p^4}e^{px}+x\displaystyle\frac{px-1}{p^2}e^{px}\right]_{p=1}=(x^2-2x+2)e^x+Cte} \)

Aquí queda una integral sin diferencial:

\( {\displaystyle\int_{}^{}x^2e^x\ dx=\left[\frac{{\partial^2}}{{\partial p^2}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\right]_{p=1} \)

La integral se transforma completamente y el \( dx \) "vuela"? No debería transformarse en \( dp \) ??

Veamos a ver si soy capaz de explicártelo de una forma sencilla que se entienda. Supongamos la integral:

\( \displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx \)

y admitamos que al derivar su valor respecto del parámetro \( p \) n veces obtenemos:

\( \displaystyle\frac{{\partial^n }}{{\partial ^n}}\displaystyle\int_{}^{}e^{px}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\frac{{\partial^n }}{{\partial ^n}}e^{px}\ dx=\displaystyle\int_{}^{}x^ne^{px}\ dx \)

3- Aquí la expresión: \( \frac{{\partial^n }}{{\partial ^n}} \) no debiera ser \( \frac{{\partial^n }}{{\partial p ^n}} \)?

4- Más alla de que pueda aplicar el sistema todavía no entiendo bien como funciona, se me hace la idea de que es un cambio demasiado grande y algo arbitrario, algo asi como manosear la integral (jaja). Supongo que la práctica me dará mayor comprensión... Saludos.

En cuanto tenga cirta práctica subo algunos ejercicios hechos.

Saludos Jabato, y gracias.