Si ves el dibujo, el cuadrilátero tiene la misma área que el rectángulo EMCD, porque podemos recortar y llevar el triángulo marrón de la derecha al hueco que está marcado con rayas a la izquierda.
Así vemos que el área del cuadrilátero es equivalente a la de cuatro triángulos rectángulos AMC. Es deir, el área de uno de esos triángulos rectángulos (que son todos iguales) es \( 84/4=21
\).
Sabemos que el área es base (b) por altura (a) partido de 2 y sabemos que la hipotenusa, AC, vale 12.
Entonces
\( b\cdot a=2\cdot21=42\Rightarrow b=\dfrac{42}{a}
\)
y por Pitágoras
\( \dfrac{42^{2}}{a^{2}}+a^{2}=12^{2}\Rightarrow42^{2}=144a^{2}-a^{4}
\)
de donde te sale una bicuadrada; haces \( a^{2}=x
\) y tienes una ecuación de segundo grado donde los valores positivos de “a”, las raíces positivas, son 11,42 y 3,67 (aproximando a dos decimales y si no me he equivocado)
y “b” puede valer entonces \( \dfrac{42}{11,42}=3,67
\) ó \( \dfrac{42}{3,67}=11,42
\).
El perímetro pedido del cuadrilátero se forma suamando cuatro segmentos “b” y dos segmentos BC (BC=AC) el perímetro puede ser entonces 38,68 con b=3,57; ó 69,68 con b=11,42.
Lo de la razón 9:5 entre las áreas de los triángulos, que dice, tengo que confesar con vergüenza que no lo entiendo; por más que miro, las áreas son iguales dados los ángulos, que obligan a que el cuadrilátero que se forma sea de lados iguales dos a dos, es un paralelogramo, por tanto la razón entre su áreas sería 1.
Pero si tomamos la razón entre los lados AB y AC, el valor para “b” que más se ajusta a 9:5 es 11,42; y, si fuera eso, el perímetro pedido sería 69,68.
