Hola!
El ejercicio pide marcar la única respuesta correcta: ¿cuál es el equivalente a la siguiente proposición?: \[\neg(\forall x(p(x)\to q(x)))\tag1\]
a) \( \forall x(\neg p(x))\wedge\forall x(q(x)) \).
b) \( \exists x(p(x)\wedge\neg q(x)) \)
c) \( \forall x(p(x)\wedge\neg q(x)) \).
d) \( \exists x(p(x))\wedge\exists x(\neg q(x)) \).
Claramente la respuesta correcta es la (b). Lo he demostrado con el hecho de que \( \neg(\forall x(P(x)))\equiv\exists x(\neg P(x)) \) y usando equivalencia del condicional y DeMorgan. Así que las otras tres quedan descartadas.
Mi pregunta es, ¿cómo hacemos para probar que \( (1)\not\equiv (a) \) c)? ¿También cómo demostramos que \( (1)\not\equiv(c) \)? ¿Y \( (1)\not\equiv(d) \)?
Para demostrar que \( (1)\not\equiv(d) \) lo que hice fue tomar \( p(x)=\text{\(x\) es múltiplo de \(4\)} \) y \( q(x)=\text{\(x\) es múltiplo de \(2\)} \). Luego \( p(x)\to q(x) \) es siempre verdadero sea cual sea la \( x \), y la negación de eso es siempre falso. Sin embargo, \( (d) \) es verdadero porque podemos tomar \( x=4 \), y \( 4 \) es múltiplo de \( 4 \), y podemos tomar \( x=3 \) para decir que \( \neg q(3) \) es verdadero, por tanto \( \exists 4(p(4))\wedge\exists 3(\neg q(3)) \) es verdadero.
Pero, ¿cómo hacemos para demostrar que \( (1) \) NO ES equivalente ni a \( (a) \) ni a \( (c) \)?
Para \( (a) \): Creo que no podemos tomar el mismo contraejemplo porque \( \forall x(\neg p(x)) \) es siempre falso y falso \( \wedge \) algo = falso, y ahí demostraríamos que son equivalentes cuando sabemos que no lo son.
Gracias!!
Saludos
