[Talento]

Hola a todos, me reincorporo de mucho tiempo. Desearía me apoyen con este problema. 
Le dejo la imagen del problema en adjunto.

[ancape]

Hola a todos, me reincorporo de mucho tiempo. Desearía me apoyen con este problema. 
Le dejo la imagen del problema en adjunto.

Hola

Una idea para resolver este problema, es hacerlo para un triángulo equilátero, lo que es muy fácil, Dado el triángulo ABC buscamos la homografía que lo convierte en el triángulo equilátero A’B’C’ con A’=A, B’=B (ver figura) sea T la matriz de esta transformación. La homografía conserva la tangencia y el paralelismo por lo que el triángulo X’Y’Z’ es el homólogo del el del área buscada S. Basta tener en cuenta que la relación entre áreas homólogas es el determinante de T.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Una idea para resolver este problema, es hacerlo para un triángulo equilátero, lo que es muy fácil, Dado el triángulo ABC buscamos la homografía que lo convierte en el triángulo equilátero A’B’C’ con A’=A, B’=B (ver figura) sea T la matriz de esta transformación. La homografía conserva la tangencia y el paralelismo por lo que el triángulo X’Y’Z’ es el homólogo del el del área buscada S. Basta tener en cuenta que la relación entre áreas homólogas es el determinante de T.

Pero eso no funciona. Si así fuese el cociente entre el área pedida y el área del rectángulo sería constante. Pero como puede verse aquí (moviendo el vértice \( C \)) eso no es así.


El problema es que la construcción depende del círculo inscrito; eso va más allá de la condición de tangencia. Intervienen distancias (equidistancia a los lados; bisectrices). Eso no se conserva por la homografía, que  transforma circunferencias posiblemente en elipses.

Saludos.

[ancape]

Hola

Una idea para resolver este problema, es hacerlo para un triángulo equilátero, lo que es muy fácil, Dado el triángulo ABC buscamos la homografía que lo convierte en el triángulo equilátero A’B’C’ con A’=A, B’=B (ver figura) sea T la matriz de esta transformación. La homografía conserva la tangencia y el paralelismo por lo que el triángulo X’Y’Z’ es el homólogo del el del área buscada S. Basta tener en cuenta que la relación entre áreas homólogas es el determinante de T.

Pero eso no funciona. Si así fuese el cociente entre el área pedida y el área del rectángulo sería constante. Pero como puede verse aquí (moviendo el vértice \( C \)) eso no es así.


El problema es que la construcción depende del círculo inscrito; eso va más allá de la condición de tangencia. Intervienen distancias (equidistancia a los lados; bisectrices). Eso no se conserva por la homografía, que  transforma circunferencias posiblemente en elipses.

Saludos.

Hola Luis

En ningún momento, ni explícita ni implícitamente, dice que la curva redondeada dentro del triángulo sea un círculo. Podría ser perfectamente una elipse. Es más, si es un círculo tal vez no tenga solución. Tendría que pensarlo.
De momento, observo que si fuera un círculo, el segmento que sale de B y aterriza en el punto de tangencia del lado AC debe cortar a AC en ángulo recto.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

En ningún momento, ni explícita ni implícitamente, dice que la curva redondeada dentro del triángulo sea un círculo. Podría ser perfectamente una elipse.

Hombre, es bastante evidente que se refiere a al círculo inscrito. En otro caso la construcción no estaría bien definida porque uno podría elegir cualquiera de las posibles infinitas elipses inscritas en el triángulo; y dependiendo de la elegida cambiaría el resultado.

Es más, si es un círculo tal vez no tenga solución. Tendría que pensarlo.

No sé que quieres decir con que "tal vez no tenga solución". ¿¡Cómo no va a tenerla!? Dado un triángulo de lados \( a,b,c \) uno puede trazar el círculo inscrito y hacer la construcción que da ese "triangulito", cuyo área depende exclusivamente de \( a,b,c \).

Saludos.

[ancape]

Hombre, es bastante evidente, el enunciado del problema no dice nada al respecto, que se refiere a al círculo inscrito. En otro caso la construcción no estaría bien definida porque uno podría elegir cualquiera de las posibles infinitas elipses inscritas en el triángulo; y dependiendo de la elegida cambiaría el resultado.

Hola Luis

No veo evidente, el enunciado del problema no dice nada al respecto, que la curva trazada en el dibujo sea el círculo inscrito. Además, corrígeme si me equivoco, dado un triángulo sólo hay una elipse tangente a sus lados con los puntos de tangencia en éstos.

Saludos

Estaba pensando en que se da un triángulo y los puntos de tangencia. Claramente si no es así, lo que dije sobre la unicidad es falso

[Luis Fuentes]

Hola

No veo evidente, el enunciado del problema no dice nada al respecto, que la curva trazada en el dibujo sea el círculo inscrito. Además, corrígeme si me equivoco, dado un triángulo sólo hay una elipse tangente a sus lados con los puntos de tangencia en éstos.

Estaba pensando en que se da un triángulo y los puntos de tangencia. Claramente si no es así, lo que dije sobre la unicidad es falso

El problema es claro: el dato son los lados \( a,b,c \) del triángulo y a partir de ahí se hace la construcción.

Saludos.

P.D. Hay infinitas elipses inscritas en un triángulo. En la siguiente figura puedes mover el vértice \( C \) y dos de los puntos de tangencia: